[논문 리뷰] A fractional order recovery SIR model from a stochastic process

Christopher N. Angstmann, B. I. Henry외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 11.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 43인용 수 57

한 줄 요약

이 논문은 확률적 연속시간 랜덤워크(CTRW) 과정으로부터 분수계수 SIR 모델(frSIR)을 유도하며, 복구 시간이 멱법칙 분포를 따를 경우 복구 항에 캡투o 분수도가 자연스럽게 유도됨을 보여준다. 모델는 극한 경우에 고전적 SIR 및 케르맥-맥켄드리지 연령 구조 모델로 축소되며, 분수계수 α가 0에 가까워질수록 만성 감염 수준이 증가함을 보인다.

ABSTRACT

Over the past several decades there has been a proliferation of epidemiological models with ordinary derivatives replaced by fractional derivatives in an an-hoc manner. These models may be mathematically interesting but their relevance is uncertain. Here we develop an SIR model for an epidemic, including vital dynamics, from an underlying stochastic process. We show how fractional differential operators arise naturally in these models whenever the recovery time from the disease is power law distributed. This can provide a model for a chronic disease process where individuals who are infected for a long time are unlikely to recover. The fractional order recovery model is shown to be consistent with the Kermack-McKendrick age-structured SIR model and it reduces to the Hethcote-Tudor integral equation SIR model. The derivation from a stochastic process is extended to discrete time, providing a stable numerical method for solving the model equations. We have carried out simulations of the fractional order recovery model showing convergence to equilibrium states. The number of infecteds in the endemic equilibrium state increases as the fractional order of the derivative tends to zero.

연구 동기 및 목표

• 분수계수 SIR 모델의 물리적 근거를 제공하여 전염병학에서의 분수도의 수단적 사용을 방지한다.
• 복구 시간이 멱법칙 분포를 따를 경우 발생하는 만성 질환 역학을 모델링한다.
• 분수계수 복구 모델이 케르맥-맥켄드리지 및 헤스코트-태더 적분 방정식과 같은 기존 모델과 일관됨을 보여준다.
• 이산 시간 확률 과정 수식을 통해 연속 시간 분수계수 방정식을 안정적으로 풀 수 있는 수치적 방법을 개발한다.
• 분수계수의 영향을 평형 행동, 특히 만성 감염 평형 상태 크기 측면에서 조사한다.

제안 방법

• 질병 전파를 S, I, R 상태 간의 방향성 연속시간 랜덤워크(CTRW)로 모델링하며, 감염 상태에서의 대기 시간 분포를 임의로 설정한다.
• 감염자(I)에서 회복자(R)로의 전이에 대한 대기 시간 확률밀도함수를 사용하여 일반적인 적분미분방정식을 유도한다.
• 멱법칙 尾를 가진 대기 시간 분포(Sibuya 분포)는 복구 항에 순서 1−α의 캡투o 분수도를 유도함을 보여준다.
• 연속 시간 분수계수 모델과 등가인 이산 시간 확률 모델을 유도하여 Z-star 변환을 통해 안정적인 수치적 해법을 가능하게 한다.
• 라플라스 및 Z-star 변환을 사용하여 연속 시간 근사로의 귀환을 수행하며, 이산 수식으로부터 분수미분방정식을 복원한다.
• Z-star 변환의 콘볼루션 정리와 점근 전개를 적용하여 연속 근사에서 분수도 항을 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수계수 SIR 모델은 물리적 동기를 가진 확률 과정으로부터 유도될 수 있는가? 즉, 수단적인 사용이 아닌가?
• RQ2 어떤 확률 과정이 SIR 모델의 복구 항에 자연스럽게 분수도를 유도하는가?
• RQ3 분수계수 α는 모델의 만성 감염 평형 상태 크기에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 분수계수 복구 모델은 극한 경우에 알려진 고전적 모델(예: 케르맥-맥켄드리지 또는 헤스코트-태더)으로 축소되는가?
• RQ5 이산 시간 확률 수식에서 유도된 안정적인 수치 방법은 연속 시간 분수계수 모델로 수렴하는가?

주요 결과

• 복구 시간 분포가 멱법칙을 따를 경우, 특히 Sibuya 분포일 경우 분수도가 SIR 모델에 자연스럽게 유도된다.
• 대기 시간 분포가 지수분포일 경우 모델은 고전적인 케르맥-맥켄드리지 연령 구조 SIR 모델로 축소된다.
• 매개변수들이 일정하고 대기 시간이 멱법칙 꼬리를 가질 경우 모델은 헤스코트-태더 적분 방정식 SIR 모델로 축소된다.
• 분수계수 α가 0에 가까워질수록 만성 감염자의 수가 증가함을 보여, 장기 또는 만성 감염을 시사한다.
• 이산 시간 확률 과정 수식은 연속 시간 분수계수 모델로 수렴하는 안정적인 수치적 해법을 제공한다.
• 연속 시간 근사는 오직 전이 확률 r가 r = µ∆t^α로 스케일링될 경우에만 잘 정의되며, 이는 분수도 항이 유한하게 유지됨을 보장한다.