[논문 리뷰] Fractional variational calculus in terms of a combined Caputo derivative

Agnieszka B. Malinowska, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 05.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 27인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 왼쪽과 오른쪽 Caputo 도함수를 매개변수 $\gamma$를 통해 볼록 조합으로 조합한 새로운 분수도함수 ${{}^{C}D^{\beta,\beta}_{\beta}}$를 제안한다. 이는 더 넓은 범위의 변분 문제를 다룰 수 있도록 하며, 이는 물리학 및 공학 분야에서 비국소적이고 기억 의존적인 시스템을 더 영리하게 모델링할 수 있도록 한다. 이 논문은 이 일반화된 도함수를 바탕으로 분수계의 오일러-라그랑주 방정식, 이sov형 제약 조건, 그리고 경계 조건이 자유인 경우의 최적성 조건을 유도한다. 이는 이전의 Agrawal(2007)의 결과를 일반화한 것으로, $\gamma = 1/2$일 때 특수한 경우로 복원된다.

ABSTRACT

We generalize the fractional Caputo derivative to the fractional derivative ${^CD^{α,β}_γ}$, which is a convex combination of the left Caputo fractional derivative of order $α$ and the right Caputo fractional derivative of order $β$. The fractional variational problems under our consideration are formulated in terms of ${^CD^{α,β}_γ}$. The Euler-Lagrange equations for the basic and isoperimetric problems, as well as transversality conditions, are proved.

연구 동기 및 목표

• 왼쪽과 오른쪽 Caputo 도함수의 볼록 조합을 매개변수 $\gamma$로 정의하여 Caputo 분수도함수를 일반화하는 것.
• 새로운 ${{}^{C}D^{\beta,\beta}_{\beta}}$ 도함수를 사용하여 비국소적이고 기억 의존적인 현상을 더 영리하게 모델링할 수 있는 분수계 변분 문제를 설정하는 것.
• 이 일반화된 변분 프레임워크에 대해 필수 최적성 조건인 오일러-라그랑주 방정식, 이sov형 제약 조건, 경계 조건을 유도하는 것.
• Agrawal(2007)의 결과를 특수한 경우로 포함하도록 기존 분수계 변분학 결과를 확장하는 것, 특히 $\gamma = 1/2$일 때 복원되는지 확인하는 것.
• 더 넓은 물리적 적용 가능성을 지닌 다목적 분수계 변분학 연구의 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 매개변수 $\gamma \in [0,1]$를 사용하여 왼쪽과 오른쪽 Caputo 도함수의 순서가 각각 $\alpha$와 $\beta$인 볼록 조합으로서 ${{}^{C}D^{\beta,\beta}_{\beta}}$를 정의한다.
• 함수 $\mathcal{J}(y) = \int_a^b L(x, y(x), {{}^{C}D^{\beta,\beta}_{\beta}}y(x)) \, dx$를 사용하여 분수계 변분 문제를 설정한다.
• 표준 변분 원리를 통해 오일러-라그랑주 방정식을 유도하여 $D^{\beta,\alpha}_{1-\gamma} \partial_{N+1} F + \partial_y F = 0$의 체계를 도출한다.
• 라그랑주 승수를 사용하여 $\mathcal{G}^j(\mathbf{y}) = \int_a^b G^j[\mathbf{y}](x) \, dx = l_j$ 형태의 제약 조건을 포함함으로써 이sov형 문제로의 확장을 다룬다.
• 경계 값이 고정되어 있지 않은 자유 경계 문제에 대해 변분 분석을 통해 최적성 조건을 확보하는 경계 조건을 유도한다.
• 부등식 제약 조건을 다루기 위해 스랩 변수 $\phi_j(x)$를 도입하고, 이에 따라 보완성 조건 $\lambda_j \phi_j(x) = 0$을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Caputo 분수도함수는 어떻게 왼쪽과 오른쪽 도함수의 볼록 조합으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 새로운 ${{}^{C}D^{\beta,\beta}_{\beta}}$ 도함수를 사용한 변분 문제에 대해 필수 최적성 조건(오일러-라그랑주 방정식)은 무엇인가?
• RQ3 이sov형 제약 조건은 이 일반화된 분수계 프레임워크에서 오일러-라그랑주 방정식의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 경계 값이 고정되어 있지 않은 변분 문제에서 어떤 경계 조건이 유도되는가?
• RQ5 새로운 도함수를 통해 기존 문헌에서 알려진 결과, 예를 들어 Agrawal(2007)의 결과를 특수한 경우로 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 표준 Caputo 도함수보다 더 넓은 범위의 변분 문제를 다를 수 있도록 하는 일반화된 분수도함수 ${{}^{C}D^{\beta,\beta}_{\beta}}$는 $y(a) = y(b) = 0$이라는 제약 조건을 피함으로써 특히 효과적이다.
• 기본 문제에 대한 분수계 오일러-라그랑주 방정식은 $D^{\beta,\alpha}_{1-\gamma} \partial_{N+1} F + \partial_y F = 0$로 유도되며, 여기서 $F$는 확장된 공간에서의 라그랑지안이다.
• 이sov형 문제의 경우, 비퇴도성 제약 조건 하에 $N$개의 오일러-라그랑주 방정식이 $i = 2, \ldots, N$에 대해 $D^{\beta,\alpha}_{1-\gamma} \partial_{N+i} F + \partial_i F = 0$로 주어진다.
• 자유 경계 문제에 대해 경계 조건이 도출되었으며, 이는 경계 값이 고정되어 있지 않을 때 최적성을 보장한다.
• 스랩 변수 $\phi_j(x)$를 통해 부등식 제약 조건을 다루었으며, 이에 따라 보완성 조건 $\lambda_j \phi_j(x) = 0$과 $\lambda_j$를 포함한 수정된 라그랑지안이 도출된다.
• 결과는 $\gamma = 1/2$일 때 Agrawal(2007)의 결과로 복원되며, 이는 이전 연구와의 일致성과 일반화의 타당성을 확인한다.