[논문 리뷰] A framework for randomized benchmarking over compact groups

Linghang Kong|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 행렬 편미분 이론을 무한차원 푸리에 공간으로 일반화하여, 전체 유니터리 군과 같은 연속적 컴팩트 리 군으로 랜덤라이즈드 뱅킹(RB)을 확장한다. 소음이 작을 경우 출력이 행렬 지수의 선형 조합으로 감쇠됨을 증명함으로써, 모든 양자 게이트(비클리포드 및 연속 게이트 세트 포함)에 대해 균일하게 게이트 편밀도를 추정할 수 있는 완전 랜덤라이즈드 뱅킹(FRB)을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Characterization of experimental systems is an essential step in developing and improving quantum hardware. A collection of protocols known as Randomized Benchmarking (RB) was developed in the past decade, which provides an efficient way to measure error rates in quantum systems. In a recent paper (arxiv:2010.07974), a general framework for RB was proposed, which encompassed most of the known RB protocols and overcame the limitation on error models in previous works. However, even this general framework has a restriction: it can only be applied to a finite group of gates. This does not meet the need posed by experiments, in particular the demand for benchmarking non-Clifford gates and continuous gate sets on quantum devices. In this work we generalize the RB framework to continuous groups of gates and show that as long as the noise level is reasonably small, the output can be approximated as a linear combination of matrix exponential decays. As an application, we numerically study the fully randomized benchmarking protocol (i.e. RB with the entire unitary group as the gate set) enabled by our proof. This provides a unified way to estimate the gate fidelity for any quantum gate in an experiment.

연구 동기 및 목표

• 기존의 랜덤라이즈드 뱅킹(RB) 프레임워크는 유한군에 국한되어 있어 비클리포드 또는 연속 게이트 세트를 평가할 수 없음에 대한 한계를 해결한다.
• 컴팩트 리 군으로 RB를 일반화하여, 비클리포드 및 연속 가족에 속하는 모든 양자 게이트에 대해 통합된 게이트 편밀도 추정 프레임워크를 제공한다.
• 이전의 일반 RB 프레임워크가 유한한 게이트 세트를 필요로 하여, XY- 및 fSim-게이트와 같은 연속 게이트 세트를 포함한 실험적 요구사항을 충족하지 못함을 해결한다.
• 완전 랜덤라이즈드 뱅킹(FRB)의 이론적 기초를 구축하여 전체 유니터리 군에서 작동하게 하여, 임베디드 FRB를 통해 임의의 게이트를 평가할 수 있도록 한다.
• 무한차원 힐버트 공간으로의 행렬 편미분 이론의 엄밀한 수학적 일반화를 제공하여, RB를 연속 군으로 일반화하는 데 기여한다.

제안 방법

• 유한차원 힐버트 공간에서의 행렬 편미분 정리([1, Thm. 6])를 무한차원 힐버트 공간으로 일반화하여, 컴팩트 군의 푸리에 공간에서 스펙트럼 분리 분석이 가능하도록 한다.
• 컴팩트 리 군의 표현 이론을 활용하여 노이즈 채널을 기저 표현으로 분해하고, 문제를 푸리에 도메인에서 다룬다.
• 소음이 작을 경우, 생존 확률이 각 기저 표현 내에서 노이즈 채널 고유값에 의해 결정되는 행렬 지수의 선형 조합으로 감쇠됨을 증명한다.
• 일반화된 편미분 이론을 적용하여, 게이트 의존적 노이즈가 존재하더라도 컴팩트 군에서의 랜덤라이즈드 뱅킹 시퀀스 출력이 여전히 근사적으로 지수 감쇠됨을 보여준다.
• 전체 유니터리 군에서 균일하게 게이트를 샘플링하는 방식으로 완전 랜덤라이즈드 뱅킹(FRB) 프로토콜을 구성하여, SPAM 오차에 대한 강건성과 모든 게이트에 대한 통합된 편밀도 추정을 보장한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증하고, FRB의 안정성과 클리포드 RB를 비교하며, 연속 게이트 가족에 대한 임베디드 FRB를 테스트한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한군에서의 랜덤라이즈드 뱅킹을 전체 유니터리 군과 같은 연속적 컴팩트 리 군으로 일반화할 수 있는가? 이 경우 생존 확률의 지수 감쇠 행동가 유지되는가?
• RQ2 노이즈가 게이트 의존적이고 작을 경우, 컴팩트 군에서의 랜덤라이즈드 뱅킹 출력이 여전히 행렬 지수 감쇠를 보일 조건은 무엇인가?
• RQ3 전체 유니터리 군에서의 완전 랜덤라이즈드 뱅킹(FRB)은 비클리포드 및 연속 게이트 세트를 포함한 모든 양자 게이트에 대해 안정적이고 정확한 편밀도 추정을 제공할 수 있는가?
• RQ4 FRB는 클리포드 RB와 비교해 랜덤라이즈드 뱅킹 작업에서 안정성과 정확성 측면에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 임베디드 FRB는 XY- 또는 fSim-게이트와 같은 연속 가족의 게이트 편밀도를 추정하는 데 사용할 수 있으며, 수치 시뮬레이션 결과는 이론적 예측과 얼마나 잘 일치하는가?

주요 결과

• 논문은 컴팩트 리 군에서 소음이 작을 경우 생존 확률이 행렬 지수의 선형 조합으로 감쇠됨을 증명하며, [1, Thm. 8]의 유한군 결과를 일반화한다.
• 이 프레임워크는 전체 유니터리 군에서 완전 랜덤라이즈드 뱅킹(FRB)을 가능하게 하여, 비클리포드 및 연속 게이트 세트를 포함한 모든 양자 게이트에 대한 통합된 편밀도 추정이 가능하다.
• 수치 시뮬레이션 결과, FRB는 클리포드 RB와 유사한 안정성을 보이며, 이는 그 강건성을 검증한다.
• 임베디드 FRB는 연속 가족에 속한 게이트의 편밀도를 성공적으로 추정하며, 시뮬레이션 결과는 이론적 예측과 높은 정확도로 일치한다.
• 무한차원 힐버트 공간에서의 일반화된 행렬 편미분 정리는 스펙트럼 분리와 수렴을 보장하여, 무한히 많은 기저 표현이 존재하더라도 감쇠 근사가 가능함을 보장한다.
• 이론적 프레임워크는 근접한 양자 컴퓨팅 환경에서 연속 게이트 세트를 사용하는 응용 분야(예: 변량 양자 알고리즘(VQE, QAOA) 및 fSim과 같은 내장 연속 게이트를 사용하는 장치)에서 RB의 활용을 지원한다.