[논문 리뷰] A Quantum Approximate Optimization Algorithm

Edward Farhi, Jeffrey Goldstone외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 1,772

한 줄 요약

이 논문은 조합 최적화 문제의 근사해를 찾는 데 사용할 수 있는 변분 양자 알고리즘인 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)을 소개한다. p=1인 3-정규 그래프에서 MaxCut 문제에 대해 이 알고리즘은 최적값의 최소 0.6924배의 컷 크기를 보장하며, 고정된 p에 대해 고전적 방법보다 증명 가능한 성능 우월성을 보여준다.

ABSTRACT

We introduce a quantum algorithm that produces approximate solutions for combinatorial optimization problems. The algorithm depends on a positive integer p and the quality of the approximation improves as p is increased. The quantum circuit that implements the algorithm consists of unitary gates whose locality is at most the locality of the objective function whose optimum is sought. The depth of the circuit grows linearly with p times (at worst) the number of constraints. If p is fixed, that is, independent of the input size, the algorithm makes use of efficient classical preprocessing. If p grows with the input size a different strategy is proposed. We study the algorithm as applied to MaxCut on regular graphs and analyze its performance on 2-regular and 3-regular graphs for fixed p. For p = 1, on 3-regular graphs the quantum algorithm always finds a cut that is at least 0.6924 times the size of the optimal cut.

연구 동기 및 목표

• NP-난이도의 조합 최적화 문제에 대한 일반 목적의 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• 제한된 큐비트 연결성과 양화 시간을 갖는 근접 양자 장치에서 실행 가능한 파arameterized 양자 회로를 설계하기 위해.
• 특정 문제, 특히 고정된 p에 대해 정규 그래프에서의 알고리즘 성능를 분석하기 위해.
• p를 증가시킬수록 근사 품질이 향상되고, p→∞의 극한에서 정확한 최적해에 수렴하는 이론적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 고정된 p에 대해 최적의 각도를 효율적으로 결정하는 고전적 사전 처리 전략을 탐색하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 비틀림 단위 연산의 순서를 사용하여 양자 상태 |γ,β⟩를 구성한다: U(C,γ) = e^{-iγC}와 U(B,β) = e^{-iβB}를 번갈아 적용한다. 여기서 C는 비용 해밀토니안이고 B는 믹서 해밀토니안이다.
• 초기 상태 |s⟩는 모든 계산 기저 상태에 대한 균일한 중첩이며, 모든 큐비트에 Hadamard 게이트를 적용하여 준비된다.
• 알고리즘은 기대값 F_p(γ,β) = ⟨γ,β|C|γ,β⟩를 평가한다. 이는 만족된 절약 수 또는 컷 크기의 평균을 추정한다.
• 고정된 p에 대해, 고전적 사전 처리는 유한한 최적화 문제를 풀어 최적 각도 (γ,β)를 계산한다. 이는 양자 기대값의 재귀적 평가를 포함한다.
• p가 n에 따라 증가할 경우, 알고리즘은 기대값 F_p(γ,β)를 매개변수 공간에서 최대화하기 위해 고전 최적화 루프 내에서 양자 컴퓨터를 서브루틴으로 사용한다.
• 알고리즘은 정규 그래프에서의 MaxCut에 적용되며, 대칭성과 섭동 이론을 사용하여 2-정규 및 3-정규 그래프에 대해 분석 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 p에 대해 파arameterized 양자 회로가 조합 최적화 문제에 대해 증명 가능한 근사 비율을 제공할 수 있는가?
• RQ2 p가 증가함에 따라 QAOA의 성능는 어떻게 변화하며, p→∞의 극한에서 정확한 해에 수렴하는가?
• RQ3 고정된 p에 대해 고전 알고리즘이 F_p(γ,β)의 기대값을 최대화하는 최적 각도 (γ,β)를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 p=1일 때 QAOA가 3-정규 그래프에서 MaxCut에 대해 달성할 수 있는 근사 비율은 얼마인가?
• RQ5 QAOA는 비용 해밀토니안이 진동을 이끄는, 독립 집합의 그래프 위에서의 연속 시간 양자 워크로 해석될 수 있는가?

주요 결과

• p=1 및 3-정규 그래프일 때 QAOA는 최적 컷의 최소 0.6924배의 컷 크기를 보장하며, 이는 증명 가능한 근사 비율을 제공한다.
• 기대값 F_p(γ,β)는 p가 증가함에 따라 단조로운 비감소성을 보이며, lim_{p→∞} M_p = max_z C(z) 이다. 즉, 알고리즘은 정확한 최적해에 수렴할 수 있다.
• p가 고정되어 있고 각 큐비트가 제한된 수의 절약에 참여하는 경우, 효율적인 고전 알고리즘이 F_p(γ,β)를 최대화하는 최적 각도 (γ,β)를 계산할 수 있다.
• 알고리즘의 양자 회로 깊이는 p와 제약 조건의 수에 대해 선형으로 증가하므로, 근접 양자 장치에 적합하다.
• p=1일 때 알고리즘은 정점이 독립 집합인 그래프 위에서의 연속 시간 양자 워크로 해석될 수 있으며, 믹서 해밀토니안 B는 인접 행렬으로 작용한다.
• p=1일 때 QAOA는 3-정규 그래프에서의 MaxCut 문제에 대해 고전적 방법보다 성능 향상을 보이며, 근사 품질에서 양자 우월성을 입증한다.