[논문 리뷰] A Furstenberg type formula for the speed of distance stationary sequences

Matías Carrasco, Pablo Lessa외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 02.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 거리 정적 난수열의 속도에 대한 푸르스텐베르크 유형의 공식을 수립하여 리만 대칭 공간에서의 선형 이동 분석을 가능하게 한다. 저자들은 이를 이황공간의 포아송-델로네 난수보행에 적용하여, 포아송 과정의 강도가 0에 수렴함에 따라 조화 측도가 차원 감소를 보임을 증명한다—그것의 하우스도르프 차원은 $d-1$ 보다 엄밀히 작다.

ABSTRACT

We prove a formula for the speed of distance stationary random sequences. A particular case is the classical formula for the largest Lyapunov exponent of an i.i.d. product of two by two matrices in terms of a stationary measure on projective space. We apply this result to Poisson-Delaunay random walks on Riemannian symmetric spaces. In particular, we obtain sharp estimates for the asymptotic behavior of the speed of hyperbolic Poisson-Delaunay random walks when the intensity of the Poisson point process goes to zero. This allows us to prove that a dimension drop phenomena occurs for the harmonic measure associated to these random walks. With the same technique we give examples of co-compact Fuchsian groups for which the harmonic measure of the simple random walk has dimension less than one.

연구 동기 및 목표

• 난수 수평함수를 사용하여 거리 정적 수열의 일반적인 푸르스텐베르크 유형 공식을 유도하기.
• 리만 대칭 공간에서의 포아송-델로네 난수보행이 도수 편향 하에 거리 정적임을 입증하기.
• 포아송 과정의 강도가 0에 수렴함에 따라 이황공간의 포아송-델로네 난수보행의 점근적 속도 분석하기.
• 낮은 강도에서 이러한 보행의 조화 측도가 차원 감소를 보임—그것의 하우스도르프 차원이 $d-1$ 보다 엄밀히 작음—을 증명하기.
• 단순 난수보행의 조화 측도가 1보다 작은 차원을 가지는 공 compact 푸크시안 군의 예를 구성하기.

제안 방법

• 거리 정적 수열의 과거 尾를 기반으로 난수 수평함수 $\xi$ 를 정의하여 선형 이동을 포착하기.
• 기대 속도 $\mathbb{E}[\ell] = -\mathbb{E}[\xi(x_0) - \xi(x_1)]$ 를 증명하여 리아풀로프 지수에 대한 푸르스텐베르크 공식을 일반화하기.
• 도수 편향을 사용하여 포아송-델로네 난수보행이 거리 정적임을 보이고, 속도 공식의 적용을 가능하게 하기.
• 영-일 법칙을 통해 보행의 속도의 에르고드성을 확립하여 그래프 속도와 환경 속도가 거의 확실히 일정함을 증명하기.
• 델로네 간선에 대한 기하학적 및 확률적 추정을 사용하여 $\lambda \to 0$ 일 때 환경 속도 $\ell_\lambda$ 의 정밀한 점근적 추정을 도출하기.
• 속도 공식과 엔트로피 추정을 적용하여 $\dim(\nu_\lambda) \leq h_\lambda / \ell_\lambda$ 를 도출하고, $h_\lambda / \ell_\lambda \to (d-1)/2$ 일 때 차원 감소를 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 독립 동일분포 행렬 곱의 범위를 넘어서 거리 정적 수열에 대해 푸르스텐베르크 유형의 공식을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 포아송 과정의 강도 $\lambda$ 가 0에 수렴함에 따라 이황공간의 포아송-델로네 난수보행의 속도가 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ3 낮은 강도에서 이황공간의 포아송-델로네 난수보행의 조화 측도는 차원 감소를 보이는가?
• RQ4 어떤 공 compact 푸크시안 군에서 단순 난수보행의 조화 측도가 1보다 작은 차원을 가지는가?
• RQ5 대칭 공간에서 포아송-델로네 보행의 그래프 속도와 환경 속도는 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 거리 정적 수열의 속도는 $\mathbb{E}[\ell] = -\mathbb{E}[\xi(x_0) - \xi(x_1)]$ 를 만족하며, 여기서 $\xi$ 는 과거 尾에서 유도된 난수 수평함수이다.
• 독립 동일분포 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 행렬 곱의 경우 이는 최상위 리아풀로프 지수에 대한 고전적 푸르스텐베르크 공식을 복원한다.
• 이황공간의 포아송-델로네 난수보행의 환경 속도 $\ell_\lambda$ 는 $\lambda \to 0$ 일 때 $\ell_\lambda \sim \frac{1}{2} \log(\lambda^{-1})$ 를 만족한다.
• 보행의 그래프 속도는 $\lambda \to 0$ 일 때 가능한 최대값 1에 수렴하며, 이는 [BPP14]에서 열려있던 문제를 해결한다.
• 조화 측도 $\nu_\lambda$ 의 차원은 $\limsup_{\lambda \to 0} \dim(\nu_\lambda) \leq \frac{d-1}{2}$ 를 만족하며, 이는 차원 감소를 증명한다.
• 낮은 강도의 이황공간 포아송-델로네 보행에서 거의 확실히 $\dim(\nu_\lambda) < d-1$ 가 성립하며, 이는 차원 감소 현상을 확인한다.