[논문 리뷰] A General Framework for the Semantics of Type Theory

Taichi Uemura|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 08.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 21인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 표현 가능한 카테고리 가 families (cwfs)를 사용하여 유형 이론의 의미론에 대한 일반적인 범주론적 프레임워크를 제안한다. 이는 마틴뢰프 유형 이론, 이중수준 유형 이론, 큐빅 유형 이론을 통합한다. 이론의 카테고리와 민주적 모델의 전순서 2-카테고리 사이의 이등치를 확립함으로써, 좌측 이등치를 가진 문법적 모델 함자에 의해 의미론과 문법 사이의 통일된 대응을 제공한다.

ABSTRACT

We propose an abstract notion of a type theory to unify the semantics of various type theories including Martin-Löf type theory, two-level type theory and cubical type theory. We establish basic results in the semantics of type theory: every type theory has a bi-initial model; every model of a type theory has its internal language; the category of theories over a type theory is bi-equivalent to a full sub-2-category of the 2-category of models of the type theory.

연구 동기 및 목표

• 다양한 유형 이론—마틴뢰프, 이중수준, 큐빅 유형 이론—의 의미론을 하나의 범주론적 프레임워크로 통합하는 것.
• 표현 가능한 화살표를 갖는 카테고리로 일반적인 유형 이론의 개념을 정의함으로써, 문법과 모델에 대한 통일된 처리를 가능하게 하는 것.
• 범주론적으로 순수하게 이론과 모델 사이의 대응을 확립함으로써, 람벡-스코트 및 시슬리의 등가성과 같은 고전 결과를 일반화하는 것.
• 내부 언어 함자에 대한 이미지로 나타나는 모델의 핵심으로서의 민주적 모델 개념을 도입함으로써, 어떤 모델이 문법적 구성에서 유래하는지를 특성화하는 것.
• 고차원 일반화, 특히 ∞-유형 이론을 위한 기반을 마련하고, 모델 2-카테고리로부터 유형 이론의 재구성 가능성을 탐색하는 것.

제안 방법

• 유형 이론을 표현 가능한 화살표의 특정 집합을 갖는 카테고리 T로 정의함으로써, cwfs를 일반화한 모델로 확장한다.
• 유형 이론의 모델을 표현 가능성을 유지하는 함자 F: T → PSh(C)로 정의하며, 표현 가능한 화살표를 표현 가능한 프레시브의 사상으로 매핑한다.
• T-이론을 T에서 Set으로의 함자로 정의하며, 각 객체에 대해 그 판단 형식의 닫힌 유도 집합을 할당한다.
• 각 모델에 대해 내부 언어를 할당하는 2-함자 LT: ModT → ThT를 구성하고, 이것이 좌측 이등치를 가진 함자 MT를 갖는다는 것을 증명한다. 이 MT는 각 T-이론에 대해 그 문법적 모델을 할당한다.
• MT의 이미지를 민주적 모델의 전부인 부분 2-카테고리로 특성화한다. 민주적 모델이란 표현 가능한 화살표에 대해 보편 성질을 만족하는 모델을 의미한다.
• 다양한 유형 이론 간의 비교를 위해 유형 이론의 2-카테고리 Rep를 사용하고, Mod(−)를 통해 Cat1 위의 2-카테고리로의 2-함자로서 T의 재구성을 탐색한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마틴뢰프, 이중수준, 큐빅 유형 이론을 하나의 범주론적 프레임워크 안에서 통합할 수 있는 일반적인 유형 이론의 개념을 정의할 수 있는가?
• RQ2 이러한 일반화된 유형 이론에 대해, 람벡-스코트 및 시슬리의 결과를 확장하여 이론과 모델 사이의 통일된 대응이 존재하는가?
• RQ3 어떤 모델이 어떤 이론의 문법적 모델로 유도되는지를 특성화할 수 있으며, 이러한 클래스를 공리화할 수 있는가?
• RQ4 문법적 모델 구성이 내부 언어 함자에 대해 좌측 이등치를 가지는 것으로 보일 수 있으며, 이는 모델 2-카테고리의 구조에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 원래의 유형 이론은 그 모델 2-카테고리로부터 재구성될 수 있는가? 그리고 이러한 재구성 가능성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 유형 이론 T는 이등치적으로 최초의 모델을 갖는다. 즉, 동치를 고려할 때 유일한 문법적 모델 구성이 존재한다.
• 내부 언어 함자 LT: ModT → ThT (지역적으로 이산적인 2-카테고리로 간주됨)는 좌측 이등치 함자 MT를 갖는다. 이 MT는 각 T-이론에 대해 그 문법적 모델을 할당한다.
• 문법적 모델 함자 MT는 국소적으로 동치이며, T-이론의 카테고리와 MT의 이등치적 이미지 사이의 이등치를 유도한다.
• MT의 이등치적 이미지는 정확히 T의 민주적 모델의 집합이며, 이는 표현 가능한 화살표에 대해 보편 성질을 만족하는 모델을 의미한다.
• 모델의 2-카테고리 ModT는 이차적 의미에서 국소적으로 존재하며, 이는 T가 유한히 이등치적으로 생성된 객체들을 통해 ModT로부터 재구성될 수 있음을 시사한다.
• 이 프레임워크는 자연스럽게 ∞-유형 이론으로 일반화되며, 유형 이론의 범주론적 모델이 ∞-유형 이론의 모델로 간주될 수 있어 고차원 의미론과 일반 의미론을 통합한다.