[논문 리뷰] A Generalized Tur\'an Problem and its Applications

Lior Gishboliner, A. Shapira|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 03.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 23인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 모든 고정된 k와 ℓ에 대해 ℓ-사이클을 포함하지 않는 n-정점 그래프에서 k-사이클의 최대 개수에 대한 날카운 점근적 경계를 제공함으로써 일반화된 Turán 문제를 해결한다. 또한 이러한 경계를 응용하여 초다항 경계를 갖는 최초의 알려진 그래프 제거 레미마를 구성함으로써, 극한 그래프 이론에서 오랫동안 존재했던 상한과 하한 사이의 격차를 메운다.

ABSTRACT

The investigation of conditions guaranteeing the appearance of cycles of certain lengths is one of the most well-studied topics in graph theory. In this paper we consider a problem of this type which asks, for fixed integers ${\\ell}$ and $k$, how many copies of the $k$-cycle guarantee the appearance of an $\\ell$-cycle? Extending previous results of Bollob\\'as--Gy\\H{o}ri--Li and Alon--Shikhelman, we fully resolve this problem by giving tight (or nearly tight) bounds for all values of $\\ell$ and $k$. We also present a somewhat surprising application of the above mentioned estimates to the study of the graph removal lemma. Prior to this work, all bounds for removal lemmas were either polynomial or there was a tower-type gap between the best known upper and lower bounds. We fill this gap by showing that for every super-polynomial function $f(\\varepsilon)$, there is a family of graphs ${\\cal F}$, such that the bounds for the ${\\cal F}$ removal lemma are precisely given by $f(\\varepsilon)$. We thus obtain the first examples of removal lemmas with tight super-polynomial bounds. A special case of this result resolves a problem of Alon and the second author, while another special case partially resolves a problem of Goldreich.

연구 동기 및 목표

• 모든 고정된 k와 ℓ에 대해 ℓ-사이클을 포함하지 않는 n-정점 그래프에서 k-사이클의 최대 개수를 결정하는 일반화된 Turán 문제를 해결하는 것.
• 이전의 ex(n, C_k, C_ℓ) 결과를 확장하여, 이전에 해결되지 않은 구성까지 포함해 모든 경우에 점근적으로 날카운 경계를 제공하는 것.
• 이러한 극한 경계를 그래프 제거 레미마에 적용하여, 정확히 지정된 초다항 경계를 갖는 예를 구성하는 것.
• 모든 초다항 함수 f(ε)가 어떤 가족 F에 대해 F-제거 레미마의 경계로 실현될 수 있음을 보여줌으로써, 제거 레미마에 대한 알려진 상한과 하한 사이의 오랜 기간 동안 존재한 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 저자들은 조합적 극한 추론과 사이클을 포함하는 그래프의 구조 분석을 통해 ex(n, C_k, C_ℓ)에 대한 날카운 점근적 경계를 확립한다.
• 도수 제한과 공통 이웃 구조를 통제한 그래프에서 경로와 사이클의 수를 분석하기 위해 확률론적 및 수세기 기법을 사용한다.
• 핵심 기법은 경로의 끝점이 경로 외부에 공통 이웃을 가지는지 여부에 따라 경로를 '좋음' 또는 '나쁨'으로 분류하고, 나쁜 경로의 수를 제한하여 사이클 수를 유도하는 것이다.
• 극한 그래프의 구성은 금지된 짝수 사이클을 가진 이분할 그래프에서 시작되며, 한 쪽 부분집합의 정점을 변형하여 간선으로 대체함으로써 삼각형을 생성하면서 금지된 사이클을 생성하지 않도록 한다.
• 증명은 이중 세기와 도수 제약 조건을 사용하여 경로와 사이클의 수를 제한하며, 특히 공통 이웃과 경로 길이의 역할에 초점을 맞춘다.
• 제거 레미마 적용을 위해, ex(n, C_k, C_ℓ)에 대한 극한 경계가 사이클 구조에서 유도된 적절한 가족 F를 선택함으로써 F-제거 레미마에 대한 날카운 경계로 직접 전환됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 고정된 k와 ℓ에 대해, 특히 k와 ℓ가 모두 홀수이거나 k가 짝수이고 ℓ가 홀수인 경우를 포함하여, ex(n, C_k, C_ℓ)의 정확한 점근적 주기 크기를 구하는가?
• RQ2 제거 레미마의 경계는 모든 초다항 성장률에 대해 날카로워질 수 있는가? 만약 그렇다면, 이러한 가족은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 사이클을 포함하는 그래프의 극한 경계는 금지된 사이클의 구조와 어떻게 관련되어 있는가? 특히 C_3과 짝수 사이클 C_{2ℓ}의 경우에 대해 어떻게 되는가?
• RQ4 ex(n, C_k, C_ℓ)의 극한 함수와 여러 짝수 사이클을 금지하는 경우의 극한 함수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 모든 매개변수 영역에서, 특히 C_k가 C_ℓ에 포함되지 않는 조밀한 경우를 포함하여 일반화된 Turán 문제는 날카운 경계로 완전히 해결될 수 있는가?

주요 결과

• k와 ℓ가 서로 다를 때, k ≥ 5이고 ℓ = 4이면 Θ_k(n^{k/2}) 경계를 확립하고, ℓ ≥ 6이면서 짝수이고 k ≥ 4 또는 k, ℓ가 모두 홀수이며 5 ≤ k < ℓ이면 Θ_k(ℓ^{⌈k/2⌉} n^{⌊k/2⌋}) 경계를 확립한다.
• k가 짝수이고 ℓ가 홀수이거나, k와 ℓ가 모두 홀수이며 k > ℓ인 조밀한 경우, C_ℓ가 C_k의 확대에 포함되지 않기 때문에 ex(n, C_k, C_ℓ) = Θ_k(n^k)이다.
• 논문은 ex(n, C_3, C_{2ℓ})가 Ω(ex(n, {C_4, C_6, ..., C_{2ℓ}}))와 O_ℓ(ex(n, C_{2ℓ})) 사이에 경계가 있음을 증명하며, ℓ ∈ {2, 3, 5}일 때 두 경계가 모두 날카롭다는 것을 보여준다.
• 저자들은 임의의 주어진 초다항 함수 f(ε)와 정확히 일치하는 경계를 갖는 F-제거 레미마를 실현하는 그래프 가족 F를 구성한다. 이는 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• 이 구성은 초다항 경계를 갖는 최초의 알려진 제거 레미마 예를 제공하며, 이전에 알려진 상한과 하한 사이의 격차를 메운다.
• 이 결과는 Alon과 Shapira가 제기한 문제를 해결하고, Goldreich가 제기한 비다항적이고 정확히 제어 가능한 경계를 갖는 제거 레미마의 존재성에 대한 질문에 부분적으로 답한다.