[논문 리뷰] A Hierarchy for Replica Quantum Advantage

Sitan Chen, Jordan Cotler외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 k개의 복제본을 동시에 측정할 때보다 k+1개를 측정할 때 훨씬 더 어려운 양자 학습 작업의 계층을 수립한다. 이는 증가하는 수의 양자 상태 복제본 간에 얽힌 측정을 통해 지수적 자원 절감이 가능하다는 것을 보여준다. 주요 결과는 임의의 k에 대해, n-qubit 상태의 성질을 측정할 때 최대 k개의 복제본을 동시에 측정할 수 있을 경우 Ω(2ⁿk)개의 복제본이 필요하지만, poly(k,n)개의 복제본으로는 해결 가능한 성질이 존재함을 보여주며, 이는 복제본 수에 따른 엄격한 자원 이점 계층을 증명한다.

ABSTRACT

We prove that given the ability to make entangled measurements on at most $k$ replicas of an $n$-qubit state $ρ$ simultaneously, there is a property of $ρ$ which requires at least order $2^n$ measurements to learn. However, the same property only requires one measurement to learn if we can make an entangled measurement over a number of replicas polynomial in $k, n$. Because the above holds for each positive integer $k$, we obtain a hierarchy of tasks necessitating progressively more replicas to be performed efficiently. We introduce a powerful proof technique to establish our results, and also use this to provide new bounds for testing the mixedness of a quantum state.

연구 동기 및 목표

• 측정에 사용할 수 있는 복제본 수에 기반한 양자 우월성의 형식적 계층을 수립하기.
• 모든 k ≥ 1에 대해, k개의 복제본을 사용할 경우보다 k+1개를 사용할 경우 훨씬 더 어려운 특정 양자 학습 작업을 식별하기.
• k개의 복제본을 동시에 측정할 수 있는 제약 조건 하에서 지수적 수의 복제본이 필요한 작업을 해결하기 위해 다항수준의 복제본 수(poly(k,n))가 충분함을 보여주기.
• 비적응 측정 및 적응 측정 프로토콜 하에서 혼합도 테스트의 복제본 복잡도에 대한 날카운 하한을 제공하기.

제안 방법

• 저자들은 계산 기저 상태에 무작위 유니터리 회로를 적용한 상태를 포함하는 흐트러진 상태와 완전 혼합 상태를 구별하는 학습 작업의 가족을 정의한다.
• δ = 1/2ⁿ인 δ-근사 2k-설계를 형성하는 무작위 양자 회로를 사용하여 흐트러진 상태를 구성함으로써, 난이도를 확보하기 위해 충분한 무작위성을 확보한다.
• 핵심 난수 변수 φᵘ,ᵛ의 모멘트 한계를 활용하여, 서로 다른 가설 하에서 측정 결과 분포 간의 카이제곱 발산을 제한하는 새로운 증명 기법을 도입한다.
• 비적응 프로토콜의 경우, φᵘ,ᵛ의 尾함수 한계를 분석하고 Bubeck 등(2020)의 보조정리 17을 적용하여 카이제곱 발산과 φᵘ,ᵛ의 모멘트 간의 관계를 유도한다.
• 적응 프로토콜의 경우, 동시에 최대 k개의 복제본을 측정하는 전략은 일정 확률로 상태를 구별하기 위해 Ω(2ⁿk)개의 복제본이 필요하다는 것을 보여준다.
• 제품 혼합 상태의 카이제곱 발산을 분석하고 핀스커의 부등식을 적용하여, 비적응 프로토콜에 대해 최적의 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각 수준에서 효율적으로 해결하기 위해 더 많은 복제본이 필요한 양자 우월성의 계층이 존재할 수 있는가?
• RQ2 모든 양의 정수 k에 대해, k-복제본으로는 어려운데 poly(k,n)개의 복제본으로는 해결 가능한 작업이 존재하는가?
• RQ3 최대 k개의 복제본만 동시에 측정할 수 있을 때, 양자 상태의 혼합도를 테스트하기 위해 필요한 최소 복제본 수는 얼마인가?
• RQ4 측정이 비적응적일 경우에 복제본을 다수 사용하는 데서 유도되는 이점이 감소하는가?
• RQ5 적응 및 비적응 측정 제약 조건 하에서 혼합도 테스트의 복제본 복잡도를 날카운 하한으로 유계화할 수 있는가?

주요 결과

• ε = 1/(3k)일 때, RQC 테스트 작업은 k-복제본으로 어려운 것으로 간주된다: 최대 k개의 복제본을 한 번에 측정하는 모든 프로토콜은 일정 확률로 성공하기 위해 전체적으로 Ω(2ⁿk)개의 복제본이 필요하다.
• 동일한 작업은 단지 poly(k,n)개의 복제본으로 해결 가능하므로, 복제본 수에 기반한 엄격한 양자 우월성 계층을 보여준다.
• 비적응 설정에서 k ≪ log(d)/ε²일 경우 최적의 전략은 한 번에 하나의 복제본을 측정하는 것으로, 두 개 이상의 복제본을 얽히게 하여도 점근적 이점이 없다.
• 비적응 혼합도 테스트의 복제본 복잡도 하한은 Ω(d^{3/2−η}/ε²)이며, 이는 단일 복제본 측정을 사용한 O(d^{3/2}/ε²)의 알려진 상한과 일치한다.
• 최대 혼합 상태와 흐트러진 상태 하에서의 측정 결과 분포 간의 카이제곱 발산은 난수 변수 φᵘ,ᵛ의 모멘트 추정을 통해 유계지며, 이는 날카운 복제본 복잡도 유계를 가능하게 한다.
• φᵘ,ᵛ의 尾함수 및 모멘트 분석에 기반한 이 증명 기법은 제한된 복제본 액세스 조건 하에서 양자 상태 학습의 하한을 도출하는 일반적 프레임워크를 제공한다.