[논문 리뷰] A hybrid algorithm for coupling PDE and compartment-based dynamics

Jonathan U. Harrison, Christian A. Yates|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 28.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 계산 효율성과 확률적 정확성을 균형 잡기 위해 확률적 분할기반 반응-확산 모델과 결정론적 편미분방정식(PDE) 모델을 결합한 하이브리드 알고리즘을 제시한다. 한쪽 경계에서는 확률적 유량 연속성 조건을, 다른 쪽 경계에서는 농도 일치(디리클레 유형) 조건을 사용하여 공간적 겹침 영역을 통해 두 모델 간에 원활한 질량 이동을 가능하게 하여, 시뮬레이션 시간을 최대 5배까지 단축시키면서도 오차는 낮고 편향이 없으며 시간이 지남에 따라 증가하지 않는 결과를 얻는다.

ABSTRACT

Stochastic simulation methods can be applied successfully to model exact spatio-temporally resolved reaction-diffusion systems. However, in many cases, these methods can quickly become extremely computationally intensive with increasing particle numbers. An alternative description of many of these systems can be derived in the diffusive limit as a deterministic, continuum system of partial differential equations. Although the numerical solution of such partial differential equations is, in general, much more efficient than the full stochastic simulation, the deterministic continuum description is generally not valid when copy numbers are low and stochastic effects dominate. Therefore, to take advantage of the benefits of both of these types of models, each of which may be appropriate in different parts of a spatial domain, we have developed an algorithm that can be used to couple these two types of model together. This hybrid coupling algorithm uses an overlap region between the two modelling regimes. By coupling fluxes at one end of the interface and using a concentration-matching condition at the other end, we ensure that mass is appropriately transferred between PDE- and compartment-based regimes. Our methodology gives notable reductions in simulation time in comparison with using a fully stochastic model, whilst maintaining the important stochastic features of the system and providing detail in appropriate areas of the domain. We test our hybrid methodology robustly by applying it to several biologically motivated problems including diffusion and morphogen gradient formation. Our analysis shows that the resulting error is small, unbiased and does not grow over time.

연구 동기 및 목표

• 입자 수가 많을 경우 완전한 확률적 모델의 계산 비효율성을 해결하면서도, 낮은 입자 수 영역에서는 확률적 정밀도를 유지하기 위해.
• 반응-확산 시스템에서 분할기반 확률적 모델과 PDE 기반 결정론적 모델 간의 강력한 결합 방법을 개발하기 위해.
• 물리적으로 일관된 경계 조건을 사용하여 두 모델 간의 질량 이동을 정확히 보장하기 위해.
• 확산 및 형태형성 단서 농도 분포 형성과 같은 생물학적으로 관련된 문제들에 대해 하이브리드 방법을 검증하기 위해.
• 하이브리드 접근법에 의해 유도되는 오차가 작고, 편향이 없으며 시간이 지남에 따라 증가하지 않는 것을 입증하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 PDE 모델과 분할기반 모델이 동시에 존재하는 공간적 겹침 영역을 사용하여 두 영역 간의 부드러운 전이를 가능하게 한다.
• 질량 보존을 확보하기 위해 한 경계에서 유량 연속성 조건을 강제로 적용한다.
• 모델 간 평균 농도를 일치시키기 위해 반대편 경계에 디리클레 유형의 농도 일치 조건을 적용한다.
• PDE 격자 해상도는 분할기반 격자보다 훨씬 높아, PDE 영역에서 높은 수치 정확도를 확보하면서도 비용이 과도하게 증가하지 않는다.
• 경계 조건 분석을 통한 수학적 정당화를 통해 일관성과 안정성을 보장한다.
• 추가적인 계산 성능 향상을 위해 적응형 경계를 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PDE와 분할기반 역학을 조합한 하이브리드 모델은 완전한 확률적 모델에 비해 시뮬레이션 시간을 크게 단축시키면서도 낮은 오차를 유지할 수 있는가?
• RQ2 분할기지 크기, PDE 이산화 수준, 겹침 영역 크기의 변화가 하이브리드 결합의 정확도와 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 하이브리드 방법은 낮은 인구 수 영역에서는 확률적 특성을 유지하면서도 높은 인구 수 영역에서는 계산 효율성을 보장하는가?
• RQ4 결합 과정에서 발생하는 오차는 작고, 편향이 없으며 시간이 지남에 따라 증가하지 않는가?
• RQ5 이 방법은 형태형성 단서 농도 분포 형성과 같은 생물학적으로 관련된 시스템에 안정적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 표준 테스트 문제에서 하이브리드 알고리즘이 완전한 확률적 모델 대비 시뮬레이션 시간을 약 5배 단축시킨다.
• 하이브리드 해와 해석적 해 사이의 총 오차는 작고 시간이 지나도 증가하지 않아 장기적 안정성을 나타낸다.
• 겹침 영역 내 분할기지 수의 변화와 무관하게 오차가 유지됨을 통해 경계 설계에 대한 강건성을 입증한다.
• 기대와 같이 분할기지 크기(h)가 커질수록 확률적 오차가 증가하지만, 이는 완전한 확률적 모델의 행동과 일관된다.
• 확산 및 형태형성 단서 농도 분포 형성과 같은 여러 테스트 케이스에서 낮고 편향 없는 오차를 유지함으로써 신뢰성을 확인한다.
• 유량 기반 및 농도 일치 결합 조건은 두 모델 간의 정확한 질량 이동과 물리적 일관성을 보장한다.