[논문 리뷰] A large deviation principle for block models

Christian Borgs, Jennifer Chayes외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 28.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 30인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 블록 모델 무작위 그래프를 무작위 그래프온으로 간주하여 조밀한 블록 모델 그래프에 대해 대규모 변동 원리(LDP)를 수립한다. 이를 통해 정규 그래프에서 높은 호모모르피스 밀도와 같은 희귀 사건을 분석할 수 있다. 이는 조건부 그래프가 원래 블록 모델과 유사한 '대칭' 단계와 그 구조가 이질화되는 '대칭성 파괴' 단계를 포함하며, 에르되시-레니 모델과 유사한 재진입 상전이를 드러낸다.

ABSTRACT

We initiate a study of large deviations for block model random graphs in the dense regime. Following Chatterjee-Varadhan(2011), we establish an LDP for dense block models, viewed as random graphons. As an application of our result, we study upper tail large deviations for homomorphism densities of regular graphs. We identify the existence of a "symmetric" phase, where the graph, conditioned on the rare event, looks like a block model with the same block sizes as the generating graphon. In specific examples, we also identify the existence of a "symmetry breaking" regime, where the conditional structure is not a block model with compatible dimensions. This identifies a "reentrant phase transition" phenomenon for this problem -- analogous to one established for Erdos-Renyi random graphs (Chatterjee-Dey(2010), Chatterjee-Varadhan(2011)). Finally, extending the analysis of Lubetzky-Zhao(2015), we identify the precise boundary between the symmetry and symmetry breaking regime for homomorphism densities of regular graphs and the operator norm on Erdos-Renyi bipartite graphs.

연구 동기 및 목표

• 그래프온 프레임워크를 사용하여 조밀한 블록 모델 무작위 그래프에 대해 대규모 변동 원리(LDP)를 개발한다.
• 희귀 사건, 예를 들어 정규 그래프에 대해 비정상적으로 높은 호모모르피스 밀도일 경우에 조건부로 설정된 블록 모델 그래프의 구조를 분석한다.
• 상부 尾부 편차에서 대칭 및 대칭성 파괴 영역 간의 상전이를 특성화한다.
• 이전의 에르되시-레니 그래프 결과를 블록 모델로 확장하여, 조건부 그래프의 구조가 블록 형태를 유지하는지 또는 이를 이탈하는지의 조건을 규명한다.

제안 방법

• 고정된 블록 구조와 간선 확률 $p_{ij}$를 가진 무작위 그래프온으로 조밀한 블록 그래프를 모델링하고, 그래프 극한 이론을 활용한다.
• 대규모 변동 이론을 적용하여 속도 $n^2$의 LDP를 유도하며, 생성 그래프온 $W_0$에 대한 상대 엔트로피를 기반으로 한 비용 함수 $J_{W_0}(f)$를 사용한다.
• d-정규 그래프 $H$의 호모모르피스 밀도 $t(H,G)$에 대한 상부 尾부 문제를 분석하고, $t(H,f) \to t_{\text{max}}$ 조건 하에 $J_{W_0}(f)$를 최소화하는 변분 문제를 규명한다.
• 그래프온 위상과 컷 노름 $\delta_\square$를 사용하여 조건부 그래프의 수렴성과 구조적 극한을 특성화한다.
• 원래 $W_0$와 동일한 블록 구조를 가진 블록 모델이 비용 함수의 최소화자인 '대칭' 영역과 그렇지 않은 '대칭성 파괴' 영역을 식별한다.
• 변분 분석 도구, 함수 $\phi_\tau$의 연속성, 그리고 극단적 그래프 이론을 활용하여 영역을 구분하며, 이는 이분 그래프 에르되시-레니 그래프의 경우도 포함된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 그래프 $H$에 대해 높은 호모모르피스 밀도를 조건으로 하였을 때, 블록 모델 그래프가 원래의 블록 구조를 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 조건부 그래프의 구조가 대칭성 파괴를 보이게 되는가? 즉, 비용 함수의 최소화자가 호환 가능한 치수를 가진 블록 모델이 아닌가?
• RQ3 정규 그래프의 호모모르피스 밀도에 대해 블록 모델에서 대칭 및 대칭성 파괴 영역 간의 정확한 경계는 무엇인가?
• RQ4 이분 그래프 에르되시-레니 그래프의 상부 尾부 영역에서 인접행렬의 연산자 노름은 어떻게 행동하는가? 그리고 대칭성 파괴를 보이는가?
• RQ5 블록 모델에서의 상전이가 에르되시-레니 그래프에서 관찰된 재진입 전이와 유사하게 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 속도 $n^2$를 가진 조밀한 블록 모델 무작위 그래프에 대해 그래프온 프레임워크와 상대 엔트로피를 비용 함수로 사용하여 대규모 변동 원리(LDP)가 수립되었다.
• d-정규 그래프의 경우, 조건부 그래프가 높은 호모모르피스 밀도를 가지는 조건에서 원래의 블록 구조를 가진 블록 모델로 수렴하는 '대칭' 영역이 존재한다.
• 에르되시-레니 그래프에 클리크나 독립집합을 심은 경우와 같은 특정 사례에서는, 조건부 그래프가 호환 가능한 치수를 가진 블록 모델이 아닌 '대칭성 파괴' 영역이 나타난다.
• 정규 그래프의 호모모르피스 밀도 및 이분 그래프 에르되시-레니 그래프에서의 연산자 노름에 대해 대칭 및 대칭성 파괴 영역 간의 경계가 정확히 특성화되었다.
• 상부 尾부에서 $t = t_{\text{max}}$일 때, 조건부 그래프는 컷 노름에서 최대화자 $\tilde{f}_{\text{max}}$로 수렴하며, 확률은 비용 함수의 값 $J_{W_0}(\tilde{f}_{\text{max}})$에 따라 지수적으로 감소함을 확인하여 LDP가 검증되었다.