[논문 리뷰] A Large Deviation Principle in Holder Norm for Multiple Fractional Integrals

Marta Sanz-Sol|arXiv (Cornell University)|2007. 02. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 허스트 매개수 H ∈ (1/2, 1)를 가진 분수 Browian 운동(fBm)에 의해 구동되는 다중 분수 적분에 대해 H"older 노름에서의 큰편차원리(LDP)를 수립한다. 표준 Browian 운동에 대한 fBm의 스토케스틱 적분 표현을 사용하여, 단순체 위에서 다중 불확정 적분을 구성하고, 스케일링된 과정의 법칙이 H"older 위상에서 LDP를 만족함을 증명한다. 이는 불규칙하고 장기 기억성을 가진 확률과정으로의 큰편차 이론의 확장을 제공한다.

ABSTRACT

For a fractional Brownian motion B H with Hurst parameter H ∈ ) 1 , 1 (∪) 1 ,1(, multiple indefinite integrals on a simplex are constructed and the reg- ularity of their sample paths are studied. Then, it is proved that the family of probability laws of the processes obtained by replacing B H by e 1 2 B H satisfies a large deviation principle in Holder norm. The definition of the multiple integrals relies upon a representation of the fractional Brownian motion in terms of a stochas- tic integral with respect to a standard Brownian motion. For the large deviation principle, the abstract general setting in (7) is used.

연구 동기 및 목표

• 단순체 위에서 분수 Browian 운동의 다중 불확정 적분의 표본경로 정규성 연구.
• 장기적 상관관계를 가진 fBm에 의해 구동되는 다중 확률적 적분으로의 큰편차이론 확장.
• fBm를 지수 마팅게일 변환으로 대체한 스케일링된 과정에 대해 H"older 노름에서의 큰편차원리 수립.
• 불규칙하고 마코프가 아닌 과정을 위한 스트로크 분석에서 엄밀한 분석적 프레임워크 제공.

제안 방법

• 표준 Browian 운동에 대한 fBm의 스토케스틱 적분 표현을 통해 다중 적분의 구성 가능성을 확보.
• fBm의 스토케스틱 적분 표현을 이용해 단순체 위에서 다중 불확정 적분 정의.
• 변환된 과정(반드시 fBm의 제곱의 반을 지수로 올린 형태 포함)에 추상적 큰편차 프레임워크(참고문헌 (7)으로 기재) 적용.
• H"older 노름에서 변환된 측도 하에서 확률의 강한 수렴성과 지수적 감쇠성 증명.
• 표본경로의 정규성 성질을 활용해 H"older 위상에서의 수렴 보장.
• H"older 공간에서의 균일한 추정과 계약 원리(contraction principles)를 통해 LDP 수립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 분수 적분의 확률법칙 가중족이 H"older 노름에서 큰편차원리(LDP)를 만족하는가?
• RQ2 fBm의 다중 적분 표본경로의 정규성은 큰편차 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 추상적 LDP 프레임워크 (7)은 fBm처럼 자기유사적이며 마코프가 아닌 과정에 적용 가능한가?
• RQ4 지수 마팅게일 변환은 H"older 위상에서의 큰편차 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 허스트 매개수 H ∈ (1/2, 1)의 선택은 LDP에서의 속도함수와 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• H ∈ (1/2, 1)일 때, 단순체 위에서의 분수 Browian 운동의 다중 불확정 적분은 거의 확실히 H"older 연속성을 가진 표본경로를 가짐이 입증됨.
• fBm를 e^{1/2 B^H}로 대체한 스케일링된 과정의 확률법칙 가중족은 H"older 노름 위상에서 큰편차원리(LDP)를 만족함.
• 추상적 프레임워크(참고문헌 (7)로 기재)를 사용하여 LDP 수립되었으며, 이는 H"older 공간에서 양호한 속도함수 존재를 보장함.
• 다중 적분의 구성은 표준 Browian 운동에 대한 fBm의 스토케스틱 적분 표현에 의해 핵심적으로 의존함.
• 적분의 정규성 덕분에 법칙 수렴이 분포 수렴 이상의 더 강한 H"older 위상에서 발생함이 보장됨.
• 결과적으로, 비마코프성과 장기 기억성을 지닌 비정규 분포 표본경로를 가진 과정으로의 큰편차이론 확장됨.