[논문 리뷰] A linearized stabilizer formalism for systems of finite dimension

Niel de Beaudrap|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 유한 차원 $d \geq 2$ 의 큐디트 시스템에 대해 선형화된 안정자 형식을 제안하며, 이는 이산 웨일 연산자를 사용해 파울리 유사 연산을 표현하고 이중 제곱 위상 의존성을 제거한다. 이는 안정자 회로를 일정 수의 측정으로 시뮬레이션하는 것이 복잡도 클래스 $\mathsf{coMod}_d\mathsf{L}$ 에 대해 완전하다는 것을 증명하며, $O(\log(n)^2)$-깊이 부울 회로를 사용해 구현 가능하여 선형 대수학을 통한 효율적 고전적 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The stabilizer formalism is a scheme, generalizing well-known techniques developed by Gottesman [quant-ph/9705052] in the case of qubits, to efficiently simulate a class of transformations ("stabilizer circuits", which include the quantum Fourier transform and highly entangling operations) on standard basis states of d-dimensional qudits. To determine the state of a simulated system, existing treatments involve the computation of cumulative phase factors which involve quadratic dependencies. We present a simple formalism in which Pauli operators are represented using displacement operators in discrete phase space, expressing the evolution of the state via linear transformations modulo D <= 2d. We thus obtain a simple proof that simulating stabilizer circuits on n qudits, involving any constant number of measurement rounds, is complete for the complexity class coMod_{d}L and may be simulated by O(log(n)^2)-depth boolean circuits for any constant d >= 2.

연구 동기 및 목표

• 기존의 임의의 차원 $d \geq 2$ 의 큐디트 안정자 형식에서 이중 제곱 위상 의존성을 제거하기 위해.
• 이산 웨일 연산자를 기반으로 한 통일된 형식을 개발하여, $D \in \{d, 2d\}$ 모듈로의 선형 변환으로 시뮬레이션을 줄이기 위해.
• 일정 수의 측정 라운드를 가진 안정자 회로의 시뮬레이션은 복잡도 클래스 $\mathsf{coMod}_d\mathsf{L}$ 에 대해 완전하다는 것을 증명하기 위해.
• 아론슨과 고테스만(2004)의 복잡도 이론 결과를 큅티브에서 임의의 큐디트 차원으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 이중 제곱 위상 인자가 발생하지 않도록, $\sigma_x^a \sigma_z^b$ 가 아닌 이산 웨일 연산자를 사용해 파울리 연산자를 표현하기 위해.
• 만일 $d$ 가 홀수이면 $D = d$, 만일 $d$ 가 짝수이면 $D = 2d$ 이며, $ \mathbb{Z}_D$ 위에서 $ \operatorname{Sp}_{2n}(\mathbb{Z}_D)$ 의 심플렉틱 군 표현으로 클리포드 군을 정의하기 위해.
• 선형 변환을 통해 단위 연산과 측정에 의한 상태 진화를 추적하기 위해 확장된 타블로 형식을 사용하기 위해.
• 측정 갱신을 $D$ 모듈로의 선형 연립방정식으로 제시하여 효율적 시뮬레이션을 가능하게 하기 위해.
• 안정자 회로의 시뮬레이션이 $D$ 모듈로의 선형 연립방정식 해법으로 환원됨을 증명하여 복잡도 분석을 단순화하기 위해.
• 기존의 처리 방식에서의 비균일성을 해결하기 위해, 짝수와 홀수 $d$ 를 모두 균일하게 다룰 수 있도록 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큐디트에 대한 안정자 형식을 재구성하여 이중 제곱 위상 의존성을 제거하고, 오직 선형 대수학에 의존하도록 할 수 있는가?
• RQ2 임의의 유한 차원 $d \geq 2$ 에서 일정 수의 측정을 가진 안정자 회로의 시뮬레이션은 $\mathsf{coMod}_d\mathsf{L}$ 에 대해 완전한가?
• RQ3 임의의 고정된 $d \geq 2$ 에 대해, 안정자 회로의 시뮬레이션 복잡도가 $O(\log(n)^2)$-깊이 부울 회로로 유계화될 수 있는가?
• RQ4 높은 차원 큐디트 시스템에서 측정 연산을 고차원 안정자 회로에서 선형 변환으로 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ5 클리포드 군과 심플렉틱 군 사이의 연결 고리를 모든 $d \geq 2$ 에서 명확하고 균일하게 만들 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 고정된 $d \geq 2$ 에 대해 $n$ 큐디트의 안정자 회로를 일정 수의 측정 회수로 시뮬레이션하는 것이 복잡도 클래스 $\mathsf{coMod}_d\mathsf{L}$ 에 대해 완전하다는 것을 확립한다.
• 이러한 회로의 시뮬레이션은 $O(\log(n)^2)$-깊이 부울 회로를 사용해 달성 가능하며, 이는 $\mathsf{NC}^2$ 에 속함을 의미한다.
• 이중 제곱 위상 의존성을 제거하기 위해 이산 웨일 연산자를 기저로 사용함으로써, 모든 연산이 $D \in \{d, 2d\}$ 모듈로의 선형 변환으로 기술됨을 보장한다.
• 클리포드 군이 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}_{2n}(\mathbb{Z}_D)$ 의 군 표현으로서 작용함을 보여주며, 이 형식에 대해 깔끔한 대수적 구조를 제공한다.
• 확장된 타블로 형식은 측정에 의한 상태 진화를 직접적인 선형 표현으로 가능하게 하여 복합 차원에 대한 이전 처리 방식의 격차를 해소한다.
• 이 접근법은 이전의 형식들(예: 고테스만(1998) 및 호스텐 등(2005))에서의 비균일성을 해결하여 짝수와 홀수 $d$ 를 균일하게 다룬다.