[논문 리뷰] A maximum likelihood based technique for validating detrended fluctuation analysis (ML-DFA)

Maria Botcharova, Simon F. Farmer외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 21.

Complex Systems and Time Series AnalysisEconomics, Econometrics and Finance참고 문헌 38인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 장기적 시간 상관관계를 측정하는 데 사용되는 DFA 지수의 통계적 의미를 보장하기 위해 필수적인 덴드럼된 플럭투에이션 분석(DFA) 플럭투에이션 플롯의 선형성 검증을 위한 최대우도 기반 방법인 ML-DFA를 소개한다. AIC와 BIC를 사용하여 선형 모형과 다항식, 스퍼인, 지수, 로그 모형 등 대안 모형을 비교함으로써 ML-DFA는 과적합을 방지하면서도 가장 잘 맞는 모형을 식별하며, 이로써 DFA 지수가 통계적으로 의미 있는지 여부를 판단한다.

ABSTRACT

Detrended Fluctuation Analysis (DFA) is widely used to assess the presence of long-range temporal correlations in time series. Signals with long-range temporal correlations are typically defined as having a power law decay in their autocorrelation function. The output of DFA is an exponent, which is the slope obtained by linear regression of a log-log fluctuation plot against window size. However, if this fluctuation plot is not linear, then the underlying signal is not self-similar, and the exponent has no meaning. There is currently no method for assessing the linearity of a DFA fluctuation plot. Here we present such a technique, called ML-DFA. We scale the DFA fluctuation plot to construct a likelihood function for a set of alternative models including polynomial, root, exponential, logarithmic and spline functions. We use this likelihood function to determine the maximum likelihood and thus to calculate values of the Akaike and Bayesian information criteria, which identify the best fit model when the number of parameters involved is taken into account and over-fitting is penalised. This ensures that, of the models that fit well, the least complicated is selected as the best fit. We apply ML-DFA to synthetic data from FARIMA processes and sine curves with DFA fluctuation plots whose form has been analytically determined, and to experimentally collected neurophysiological data. ML-DFA assesses whether the hypothesis of a linear fluctuation plot should be rejected, and thus whether the exponent can be considered meaningful. We argue that ML-DFA is essential to obtaining trustworthy results from DFA.

연구 동기 및 목표

• DFA 플럭투에이션 플롯의 선형성 평가를 위한 공식적 방법의 부재로 인한 문제를 해결하고, DFA 지수의 타당성에 필수적인 요소를 확보하기 위해.
• 이상치의 비균일성(heteroscedasticity)으로 인해 기존의 R² 및 카이제곱 검정의 가정이 민감하거나 무효화되는 문제를 해결하기 위해.
• 자기유사성(self-similarity)을 지지하는 플럭투에이션 플롯 여부를 판단하기 위해 통계적으로 엄밀한 모형 선택 기반 접근법을 제공하기 위해.
• 합성 FARIMA 과정과 실제 신경생리학적 EEG 데이터를 대상으로 본 방법을 검증하여 그 신뢰성과 실용적 유용성을 입증하기 위해.
• 신경과학 및 기타 분야에서 DFA 지수를 해석하기 전에 반드시 거쳐야 할 단계로 ML-DFA를 정립하기 위해.

제안 방법

• 창크 사이즈에 따라 DFA 플럭투에이션 크기를 정규화하여 확률 밀도 함수를 구성하고, 이를 기반으로 우도 함수를 수립한다.
• 선형 모형과 다항식, 루트, 지수, 로그, 스퍼인 함수 등 총 여섯 가지 모형의 로그우도(log-likelihood)를 평가한다.
• 과적합을 방지하기 위해 파rameter 수가 많은 모형에 대해 보정하는 AIC(Akaike Information Criterion)과 BIC(Bayesian Information Criterion)를 사용하여 모형 적합도를 비교한다.
• 가장 낮은 AIC 또는 BIC를 기록한 모형을 최적 적합 모형으로 선정한다; 만약 선형 모형이 최적이라면 플럭투에이션 플롯은 선형으로 간주되며, DFA 지수 역시 유효한 것으로 간주된다.
• 이론적으로 알려진 플럭투에이션 플롯 형태를 갖는 FARIMA(0,d,0), FARIMA(1,d,0), FARIMA(0,d,1) 과정에서 유도된 합성 데이터에 본 방법을 적용한다.
• 최소 20분 이상의 지속시간을 갖는 사전 처리 및 아티팩트 제거된 신호를 사용하여 20명의 건강한 피험자로부터 기록된 인간 EEG 데이터를 대상으로 방법을 시험한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ML-DFA는 DFA 플럭투에이션 플롯의 선형성을 신뢰성 있게 탐지하여, DFA 지수가 장기적 시간 상관관계를 측정하는 데 의미 있는지 검증할 수 있는가?
• RQ2 자기유사성 신호(예: 분수적 고유 노이즈)와 복잡한 플럭투에이션 패턴을 보이는 비자기유사성 신호를 구분하는 데 ML-DFA는 얼마나 잘 작동하는가?
• RQ3 특히 시각적 검토가 모호한 경우, ML-DFA는 기존의 R² 기반 평가에 비해 플럭투에이션 플롯의 비선형성을 더 잘 탐지하는가?
• RQ4 실제 신경생리학적 EEG 데이터에 대해 ML-DFA를 효과적으로 적용하여 보고된 DFA 지수의 유효성을 판단할 수 있는가?
• RQ5 혼합 또는 단기 상관관계를 포함한 시계열에서 비선형 플럭투에이션 플롯으로 인한 결과 오해 위험을 ML-DFA는 어느 정도 감소시키는가?

주요 결과

• ML-DFA는 합성 FARIMA 과정에서 정확한 기반 모형을 성공적으로 식별하였으며, 비영인 φ 또는 θ 계수로 인해 오목 또는 볼록한 플럭투에이션 플롯을 보이는 경우에도 이를 정확히 식별하였다.
• 이론적으로 자기유사성이 보장되는 FARIMA(0,d,0) 과정에서는 플럭투에이션 플롯이 渐近적으로 선형이 되므로, ML-DFA는 항상 선형 모형을 최적 모형으로 선택하였다.
• 비영인 φ(예: FARIMA(1,d,0))의 경우 플럭투에이션 플롯이 오목성을 보이므로, ML-DFA는 선형 모형을 기각하고 다항식 또는 스퍼인 모형을 선호하였다.
• 비영인 θ로 인해 볼록한 플럭투에이션 플롯을 보이는 FARIMA(0,d,1) 과정에서는 ML-DFA가 선형 모형이 아닌 비선형 모형(예: 지수 또는 다항식)을 선택하였다.
• 신경생리학적 EEG 데이터에서는 플럭투에이션 플롯의 상당수에서 비선형성이 확인되어, 많은 보고된 DFA 지수가 통계적으로 유효하지 않을 수 있음을 시사하였다.
• 특히 시각적 검토로는 판단이 어려운 노이즈가 많거나 다중 성분을 포함한 신호에서, 진정한 자기유사성과 허위 선형성 간의 구분에 뛰어난 강인성을 보였다.