[논문 리뷰] A Mixed DG method and an HDG method for incompressible magnetohydrodynamics

Weifeng Qiu, Ke Shi|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 06.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정적인 비압축성 자기유체역학(MHD)에 대해 두 가지 유형의 경계 조건을 가진 혼합 불연속 갈레르킨(DG) 방법과 하이브리드화된 DG(HDG) 방법을 제안한다. 불연속 다항식에 대한 새로운 이산 소볼레프 삽입 추정을 사용하여, 정규성 조건을 최소한으로 가정함에도 불구하고 속도, 자기장, 압력 및 라그랑주 승수를 포함한 모든 변수에 대해 최적의 사전 오차 추정을 수립한다. 이는 비선형 MHD 시스템에 적용된 DG 방법에 대해 처음으로 이루어지는 분석이다.

ABSTRACT

In this paper we propose and analyze a mixed DG method and an HDG method for the stationary Magnetohydrodynamics (MHD) equations with two types of boundary (or constraint) conditions. The mixed DG method is based a recent work proposed by Houston et. al. for the linearized MHD. With two novel discrete Sobolev embedding type estimates for the discontinuous polynomials, we provide a priori error estimates for the method on the nonlinear MHD equations. In the smooth case, we have optimal convergence rate for the velocity, magnetic field and pressure in the energy norm, the Lagrange multiplier only has suboptimal convergence order. With the minimal regularity assumption on the exact solution, the approximation is optimal for all unknowns. To the best of our knowledge, this is the first a priori error estimates of DG methods for nonlinear MHD equations. In addition, we also propose and analyze the first divergence-free HDG method for the problem with several unique features comparing with the mixed DG method.

연구 동기 및 목표

• 정적인 비압축성 MHD 시스템에 대해 두 가지 다른 유형의 경계 조건 또는 제약 조건을 가진 혼합 DG 방법을 개발하기 위해.
• 유체와 자기장 간의 비선형 결합 문제에 도전하면서 비선형 MHD 방정식에 대해 DG 방법을 사용한 사전 오차 추정을 수립하기 위해.
• 정확한 해에 대한 최소한의 정규성 가정 하에 모든 미지수(속도, 압력, 자기장, 라그랑주 승수)에 대해 최적 수렴 속도를 달성하기 위해.
• 비압축성 MHD에 대해 처음으로 발산 자유인 HDG 방법을 제안하고, 국소 보존성과 향상된 안정성을 확보하기 위해.
• 기존 선형화된 MHD DG 분석을 새로운 이산 소볼레프 유형 추정을 통해 비선형 전체 시스템으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 기존 선형화된 MHD에 대한 내부 페널티 DG(IP-DG) 방법을 비선형 정적 MHD 시스템으로 확장한다.
• 비선형 항을 다루기 위해 자기장의 $L^3$-노름을 제어하기 위한 불연속 다항근사에 대한 두 가지 새로운 이산 소볼레프 삽입 유형 추정을 도입한다.
• 혼합 유한요소 설정을 사용하여 속도 $\mathbf{u}$, 압력 $p$, 자기장 $\mathbf{b}$, 그리고 발산 자유 조건을 위한 라그랑주 승수 $r$를 혼합 변수로 사용한다.
• HDG 방법에서는 요소 내 자유도를 제거하기 위해 하이브리드화를 적용하여 메쉬의 껍질 위에만 전역적으로 연결된 시스템을 얻는다. 이는 계산 효율성을 향상시킨다.
• 자기장 근사에 대해 모서리, 면, 체적 자유도를 사용하고, 오차 분석을 용이하게 하기 위해 전역적으로 연속적인 것처럼 보이는 필드 $\tilde{\mathbf{b}}_h$를 재구성한다.
• 형태 정규성 가정과 코시-슈바르츠 부등식을 적용하여 이산 자기장과 그 재구성된 버전 간의 차이를 유계화함으로써 안정성 및 수렴성 분석을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한의 정규성 가정 하에 비선형 비압축성 MHD 시스템에 대한 DG 방법에서 모든 미지수에 대해 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 불연속 다항근사에 대한 이산 소볼레프 삽입 추정을 어떻게 구성하여 비선형 MHD에서 자기장의 $L^3$-노름을 제어할 수 있는가?
• RQ3 자기장과 라그랑주 승수에 대해 두 가지 다른 유형의 경계 조건을 가진 혼합 DG 방법의 수렴 성질은 어떠한가?
• RQ4 비압축성 MHD에 대해 발산 자유인 HDG 방법을 제안할 수 있으며, 혼합 DG 방법과 안정성 및 수렴성 측면에서 비교해보면 어떠한가?
• RQ5 DG 및 HDG 설정에서 속도와 자기장의 국소 보존성이 MHD 시뮬레이션의 정확성과 물리적 일관성에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 혼합 DG 방법은 정확한 해에 대한 최소한의 정규성 가정 하에 속도, 압력 및 자기장에 대해 에너지 노름에서 최적 수렴 속도를 달성한다.
• 자기장의 발산 제약 조건에 관련된 라그랑주 승수는 하위최적 수렴 차수를 보이지만, 방법은 여전히 안정적이고 정확하다.
• 제안된 불연속 다항근사에 대한 이산 소볼레프 삽입 추정은 자기장의 $L^3$-노름 제어를 가능하게 하여 비선형 결합 항 분석에 필수적이다.
• 비압축성 MHD에 대해 처음으로 발산 자유인 HDG 방법을 제안하였으며, 국소 보존성을 유지하고 혼합 DG 방법과 경쟁 가능한 대안을 제공한다.
• 분석 결과, 동일한 정규성 가정 하에 HDG 방법에서도 모든 미지수에 대해 최적 수렴이 확인되었으며, 혼합 DG 방법과 동일한 수렴 속도를 보였다.
• 이 작업은 비선형 정적 비압축성 MHD 방정식에 적용된 DG 방법에 대해 최초의 사전 오차 추정을 제공하여 문헌에서 상당한 격차를 메웠다.