[논문 리뷰] Convergence of a decoupled mixed FEM for the dynamic Ginzburg--Landau equations in nonsmooth domains with incompatible initial data

Buyang Li|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 04.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 불연속적이고 비볼록적이며 다중연결된 3차원 영역에서 초기 조건이 불일치하는 시간에 의존하는 Ginzburg–Landau 방정식에 대해 분리된 혼합 유한요소법(FEM)을 제안한다. 이는 유한요소 해가 약한 해로 수렴함을 보이며, 정밀도 가정 없이도 불규칙한 기하학적 구조에서도 수렴함을 증명한다. 이는 이산 에너지가 유계임을 유지하는 시간 스텝 스킴을 도입하고, 새로운 이산 Sobolev 임베딩 및 $\sigma$-정규성 추정을 활용함으로써 달성된다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a fully discrete mixed finite element method for solving the time-dependent Ginzburg--Landau equations, and prove the convergence of the finite element solutions in general curved polyhedra, possibly nonconvex and multi-connected, without assumptions on the regularity of the solution. Global existence and uniqueness of weak solutions for the PDE problem are also obtained in the meantime. A decoupled time-stepping scheme is introduced, which guarantees that the discrete solution has bounded discrete energy, and the finite element spaces are chosen to be compatible with the nonlinear structure of the equations. Based on the boundedness of the discrete energy, we prove the convergence of the finite element solutions by utilizing a uniform $L^{3+δ}$ regularity of the discrete harmonic vector fields, establishing a discrete Sobolev embedding inequality for the Nédélec finite element space, and introducing a $\ell^2(W^{1,3+δ})$ estimate for fully discrete solutions of parabolic equations. The numerical example shows that the constructed mixed finite element solution converges to the true solution of the PDE problem in a nonsmooth and multi-connected domain, while the standard Galerkin finite element solution does not converge.

연구 동기 및 목표

• 일般적인 곡면 다면체 영역에서 정규성 가정을 최소화한 동적 Ginzburg–Landau 방정식에 대해 완전 이산 혼합 FEM의 수렴성을 확립하는 것.
• 표준 갈레르킨 FEM이 수렴하지 못할 수 있는 불연속적 영역과 초기 조건이 불일치하는 문제에 도전하는 것.
• 이산 에너지가 유계임을 유지하고 불규칙한 기하학적 구조에서도 안정성을 확보하는 시간 스텝 스킴을 개발하는 것.
• 비연속 영역에서 PDE 문제에 대해 약한 해의 전역 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• Nédélec 유한요소 공간에 대해 이산 Sobolev 임베딩 부등식을 확립하고, 포물선 시스템에 대한 $\sigma$-정규성 추정을 유도하는 것.

제안 방법

• 비선형 시스템에서의 결합 문제를 피하기 위해 이산 에너지가 유계임을 보장하는 분리된 시간 스텝 스킴을 도입한다.
• 벡터 포텐셜에 대해 Nédélec 요소를, 순서 매개변수에 대해 연속 유한요소를 사용하는 혼합 유한요소 방법을 적용하여 비선형 구조와의 호환성을 확보한다.
• 조화 벡터장 분석 및 이산 조화 성분의 균일한 $L^{3+\delta}$ 정규성을 확립하기 위해 이산 Hodge 분해를 활용한다.
• 비정규 영역에서의 처리를 위해 Nédélec 유한요소 공간에 대해 새로운 이산 Sobolev 임베딩 부등식을 유도한다.
• 비선형 항을 제어하기 위해 포물선 방정식의 완전 이산 해에 대해 새로운 $\ell^{2}(W^{1,3+\delta})$ 추정을 개발한다.
• 수렴 증명은 이산 에너지 및 정규성 노름에서의 균일한 유계성에 기반한 콤팩트성 추론과 그론발라 타입 추정에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비연속적이고 다중연결된 3차원 영역에서 동적 Ginzburg–Landau 방정식에 대해 완전 이산 혼합 FEM이 수렴할 수 있는가?
• RQ2 제안된 분리된 스킴이 이산 에너지가 유계임을 유지하고 초기 조건이 불일치하는 경우에도 안정성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 일般적인 곡면 다면체에서 이산 조화 벡터장의 균일한 $L^{3+\delta}$ 정규성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 정확한 해의 정밀도를 가정하지 않고도 수렴을 증명할 수 있는가?
• RQ5 비정규 영역에서 Nédélec 유한요소 공간에 대해 이산 Sobolev 임베딩 부등식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 유한요소 해는 비볼록적이거나 다중연결된 일반적인 곡면 다면체에서 PDE 문제의 약한 해로 수렴한다.
• 정확한 해의 정밀도를 요구하지 않아도 수렴이 달성되어, 정규성 제약이 적은 영역으로 결과를 확장한다.
• Nédélec 유한요소 공간에 대해 이산 Sobolev 임베딩 부등식이 확립되어, 비정규 기하학적 구조에서 비선형 항을 제어할 수 있다.
• 완전 이산 포물선 해에 대한 $\sigma$-정규성 추정 $\ell^{2}(W^{1,3+\delta})$가 유도되었으며, 비선형 항을 제어하는 데 사용된다.
• 수치 실험은 표준 갈레르킨 FEM이 실패하는 비연속 영역에서도 혼합 FEM이 수렴함을 확인한다.
• 주어진 게이지 조건 하에 비연속 영역에서 PDE 문제에 대해 약한 해의 전역 존재성과 유일성이 증명된다.