[논문 리뷰] A Narrow-stencil finite difference method for approximating viscosity solutions of fully nonlinear elliptic partial differential equations with applications to Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Xiaobing Feng, Thomas Lewis|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 24.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 완전 비선형 2차 타원형 PDE, 특히 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식의 점성 해를 근사하기 위한 새로운 좁은 스텐실 유한차분 방법을 제안한다. 수치적 모멘트—두 중앙 헤시안 근사치의 차이로 정의된 항—를 도입함으로써, 낮은 정규성 해를 안정화시키며, 잘 정의된 문제, ℓ² 및 ℓ∞ 노름에서의 안정성, 그리고 단조성 조건 없이도 수렴성을 보장하는 이산 비교 원리를 통한 수렴성을 확보한다.

ABSTRACT

This paper presents a new narrow-stencil finite difference method for approximating the viscosity solution of second order fully nonlinear elliptic partial differential equations including Hamilton-Jacobi-Bellman equations. The proposed finite difference method naturally extends the Lax-Friedrichs method for first order problems to second order problems by introducing a key stabilization and guiding term called a "numerical moment". The numerical moment uses the difference of two (central) Hessian approximations to resolve the potential low-regularity of viscosity solutions. It is proved that the proposed scheme is well posed (i.e, it has a unique solution) and stable in both the l-2 norm and the l-infinity norm. The highlight of the paper is to prove the convergence of the proposed scheme to the viscosity solution of the underlying fully nonlinear second order problem using a novel discrete comparison argument. This paper extends the one-dimensional analogous method of Feng, Kao, and Lewis to the higher-dimensional setting. Numerical tests are presented to gauge the performance of the proposed finite difference methods and to validate the convergence result of the paper.

연구 동기 및 목표

• 완전 비선형 2차 타원형 PDE, 특히 HJB 방정식을 포함한 차원 d ≥ 2에서 수렴하는 좁은 스텐실 유한차분 방법을 개발한다.
• 넓은 스텐실 방법의 한계를 극복하기 위해 단조성에 의존하지 않는 좁은 스텐실 방법을 가능하게 한다.
• 1차원에서의 Lax-Friedrichs 유사 방법을 [14]에서 제안한 바를 고차원으로 확장하여, 비대칭 헤시안 항으로 인한 도전 과제를 해결한다.
• Barles-Souganidis 프레임워크에서 단조성 조건을 제거하기 위해 새로운 이산 비교 논증을 통해 비단조성 방법의 수렴성을 확립한다.
• 낮은 정규성 해를 가진 문제와 비대칭 또는 비대각 주도 계수 행렬을 가진 문제에 대해 수치적 검증을 수행한다.

제안 방법

• 수치적 모멘트를 안정화 및 안내 항으로 도입하며, 이는 두 중앙 헤시안 근사치의 차이로 정의된다.
• 수치적 모멘트는 높은 순서의 선형 편항으로 작용하여 좁은 스텐실에서 낮은 정규성 해의 해상도를 향상시킨다.
• 지정된 격자에서 함수의 행동을 캡처하기 위해 국소적으로 ∇u 및 D²u의 여러 이산 근사치를 사용하여, 좁은 스텐실의 한계를 보완한다.
• 해가 유일하고 ℓ² 및 ℓ∞ 노름에서 안정되며, 강건한 수치적 행동을 보장하기 위해 잘 정의된 문제로 구성된다.
• 수렴성을 증명하기 위해 새로운 이산 비교 원리를 개발하여 Barles-Souganidis 프레임워크에서 단조성 조건이 필요 없도록 한다.
• 시간에 의존하는 HJB 방정식에 적용 가능하게 하기 위해 선형화 방법을 통해 타원형 문제로의 확장을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 비선형 2차 타원형 PDE의 점성 해를 수렴시키기 위해 단조성 조건 없이도 좁은 스텐실 유한차분 방법을 사용할 수 있는가?
• RQ2 고차원 유한차분 방법에서 낮은 정규성 해를 안정화시키기 위해 수치적 모멘트를 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 비단조성 방법에 대해 이산 비교 원리를 일반화하여 수렴성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 비연속적이거나 비가역적인 해를 가진 문제에 대해 제안된 방법의 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ5 비대각 주도 또는 비가역 확산 행렬을 가진 HJB 방정식에 이 방법을 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 고유한 해를 가지며, ℓ² 및 ℓ∞ 노름에서 안정성이 보장되며 잘 정의된 문제이다.
• 단조성 조건 없이도 새로운 이산 비교 논증을 통해 점성 해로의 수렴성이 달성된다.
• 비대칭 확산 행렬을 가진 문제에 대한 수치 실험에서, h = 2.89e-02일 때 거의 2차 수렴 속도(순서 ≈ 1.97)를 보였다.
• W^{4/3,p}에 속하지만 C²에 속하지 않는 비가역 타원형 문제에 대해, 방법은 수렴 순서 ≈ 0.40을 달성하였으며, 이는 해의 낮은 정규성과 일치한다.
• 무한대 라플라스 연산자 및 비발산형 선형 PDE에 대한 테스트에서 낮은 정규성 영역에서의 수치적 오류를 성공적으로 안정화시켰다.
• 수치적 모멘트는 낮은 정규성 지표로 작용하며, 완전 비선형 및 선형 비발산형 PDE의 넓은 범위에서 강력한 성능을 보였다.