[논문 리뷰] A New Approach to Multi-Party Peer-to-Peer Communication Complexity

Adi Rosén, Florent Urrutia|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 04.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 자연스러운 다자 간점(peer-to-peer), 수의 손에 있는(number-in-hand) 설정에서 랜덤화된 통신 복잡도를 분석하기 위한 정보이론적 모델과 측도—다자 정보 비용(Multi-party Information Cost, MIC)—를 소개한다. n = Ω(k)일 때 k-플레이어 이산성(Disjointness) 및 비트 단위 파리티(Parity) 함수에 대해 엄밀한 Ω(kn) 하한을 확립하며, 이는 이 설정에서 처음으로 비자명한 엄밀한 하한을 제공한다. 또한 비공개 계산을 위한 랜덤성 복잡도에 대해 Ω(n) 하한을 증명한다.

ABSTRACT

We introduce new models and new information theoretic measures for the study of communication complexity in the natural peer-to-peer, multi-party, number-in-hand setting. We prove a number of properties of our new models and measures, and then, in order to exemplify their effectiveness, we use them to prove two lower bounds. The more elaborate one is a tight lower bound of $\Omega(kn)$ on the multi-party peer-to-peer randomized communication complexity of the $k$-player, $n$-bit Disjointness function. The other one is a tight lower bound of $\Omega(kn)$ on the multi-party peer-to-peer randomized communication complexity of the $k$-player, $n$-bit bitwise parity function. Both lower bounds hold when ${n=\Omega(k)}$. The lower bound for Disjointness improves over the lower bound that can be inferred from the result of Braverman et al.~(FOCS 2013), which was proved in the coordinator model and can yield a lower bound of $\Omega(kn/\log k)$ in the peer-to-peer model. To the best of our knowledge, our lower bounds are the first tight (non-trivial)lower bounds on communication complexity in the natural {\em peer-to-peer} multi-party setting. In addition to the above results for communication complexity, we also prove, using the same tools, an $\Omega(n)$ lower bound on the number of random bits necessary for the (information theoretic) private computation of the $k$-player, $n$-bit Disjointness function .

연구 동기 및 목표

• 자연스러운 다자 피어 투 피어, 수의 손에 있는 설정에서 통신 복잡도를 분석하기 위한 효과적인 모델과 도구의 부족을 해결하기 위해.
• 이 설정에서 통신 프로토콜의 철저한 분석을 지원하는 새로운 정보이론적 프레임워크—다자 정보 비용(Multi-party Information Cost, MIC)—을 개발하기 위해.
• 피어 투 피어 모델에서 이산성 및 파리티와 같은 기본 함수에 대한 통신 복잡도에 엄밀한 하한을 확립하기 위해.
• 이 설정에서 이산성 함수의 비공개 계산을 위해 필요한 최소 랜덤 비트 수를 증명하기 위해, 이 수치가 입력 크기와 함께 증가함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 모든 플레이어 쌍 간의 명시적 메시지 전달을 포함하는 비동기적, 피어 투 피어 통신 모델을 제안하며, 오직 적절한 동기 프로토콜에만 제한한다.
• 통신 복잡도를 측정하기 위한 새로운 정보이론적 측도인 다자 정보 비용(MIC)을 도입한다.
• MIC를 분해하기 위해 중간 측도인 외부 정보 비용(External Information Cost, eIC), 내부 정보 비용(Internal Information Cost, bIC), 공개 정보 비용(Public Information Cost, PIC)을 정의하고 분석한다.
• 정보이론적 부등식과 체인 규칙을 사용하여 MIC를 통신 복잡도 및 랜덤성 복잡도와 연결한다.
• PIC(π)의 하한을 구하여 하한을 증명하기 위해 외부 계산으로의 감소와 프로토콜 변환을 활용하는 프레임워크를 적용한다.
• 이전 연구에서의 랜덤성 복잡도 기법을 활용하며, 분포 및 조건부 독립성 분석을 새롭게 도입하여 다자 피어 투 피어 설정에 적응시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다자 피어 투 피어, 수의 손에 있는 설정에서 통신 복잡도를 연구하기 위한 적절한 모델과 정보이론적 측도는 무엇인가?
• RQ2 이 자연스러운 피어 투 피어 모델에서 이산성 및 파리티와 같은 기본 함수에 대해 엄밀한 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ3 이 설정에서 이산성 함수의 비공개 계산을 위해 필요한 최소 랜덤 비트 수는 얼마인가?
• RQ4 이중자 분석에서 핵심적인 직사각형 성질(rectangularity property)이 다자 피어 투 피어 설정에서 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 논문은 n = Ω(k)일 때 k-플레이어 이산성 함수 Disjn_k의 랜덤화된 통신 복잡도에 대해 엄밀한 Ω(kn) 하한을 확립한다.
• 동일한 조건 하에서 k-플레이어 비트 단위 파리티 함수 Parn_k의 랜덤화된 통신 복잡도에 대해 엄밀한 Ω(kn) 하한을 증명한다.
• 이 하한은 통신 복잡도를 하한으로 제한하는 공개 정보 비용(PIC)의 하한을 통해 유도된다.
• 논문은 비공개 계산을 위한 Ω(n) 랜덤 비트가 필요하다는 것을 증명하며, 이는 부울 함수에 대해 입력 크기와 함께 증가하는 첫 번째 그러한 하한이다.
• 이 결과들은 자연스러운 피어 투 피어 다자 설정에서 통신 복잡도에 대해 처음으로 비자명한 엄밀한 하한을 제공한다.
• 프레임워크는 MIC 및 관련 정보 비용 측도가 분산 환경에서 복잡한 통신 패tern을 분석하는 데 효과적인 도구임을 보여준다.