[논문 리뷰] A new class of three-weight linear codes from weakly regular plateaued functions

Sihem Mesnager, Ferruh Özbudak외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 24.

Coding theory and cryptography참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 임의의 특성수를 가진 유한체 위에서 약한 정규 플라티우드 함수로부터 유도된 새로운 종류의 삼중 무게 선형 부호를 소개한다. 이전의 벤트 함수에 기반한 연구를 일반화함으로써, 저자들은 이러한 부호의 명시적 무게 분포를 유도하고, 특정 조건 하에서 비영 부호들이 최소임을 증명하며, 이는 기밀 공유 기반의 응용에 적합하다.

ABSTRACT

Linear codes with few weights have many applications in secret sharing schemes, authentication codes, communication and strongly regular graphs. In this paper, we consider linear codes with three weights in arbitrary characteristic. To do this, we generalize the recent contribution of Mesnager given in [Cryptography and Communications 9(1), 71-84, 2017]. We first present a new class of binary linear codes with three weights from plateaued Boolean functions and their weight distributions. We next introduce the notion of (weakly) regular plateaued functions in odd characteristic $p$ and give concrete examples of these functions. Moreover, we construct a new class of three-weight linear $p$-ary codes from weakly regular plateaued functions and determine their weight distributions. We finally analyse the constructed linear codes for secret sharing schemes.

연구 동기 및 목표

• 벤트 함수에서의 소수 무게 선형 부호의 구성 기법을 임의의 특성수에서 약한 정규 플라티우드 함수로 확장한다.
• 홀수 소수 거듭제곱 차수를 가진 유한체 위에서 (약한) 정규 플라티우드 함수를 정의하고 분석하기 위한 이론적 프레임워크를 수립한다.
• 이러한 함수를 기반으로 삼중 무게 선형 $p$-진 및 이진 부호의 명시적 가족을 구성하고, 그들의 무게 분포를 규명한다.
• 기밀 공유 기반 응용을 위해 구성된 부호의 부호어의 최소성 조건을 분석한다.
• 유일한 매개변수 조합으로 인해 기존의 알려진 부호들과 비동치임을 입증한다.

제안 방법

• 특성수 $p$가 홀수일 경우 플라티우드 함수의 개념을 일반화하여 웰크 트랜스폼 성질을 통해 약한 정규 플라티우드 함수를 도입한다.
• 웨일크 트랜스폼과 추적 함수를 사용하여 $\mathbb{F}_{p^m}$ 위의 플라티우드 함수로부터 일반적인 선형 부호의 구성 방법을 정의한다.
• 모멘트 분석과 레이지프 기호 성질을 활용하여 구성된 부호의 무게 분포를 계산한다.
• Parseval 항등식과 이차 잔여물 성질을 이용하여 각 무게에 속하는 부호어의 정확한 수를 유도한다.
• 조건이 만족될 경우 $\frac{p-1}{p} < \frac{w_{\text{min}}}{w_{\text{max}}}$ 기준을 활용하여 모든 비영 부호어가 최소임을 증명한다.
• 기본 부호의 구조를 분석하여 기밀 공유에 적합한지 평가하며, 주로 최소 부호어에 초점을 맞춘다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 특성수에서 약한 정규 플라티우드 함수로부터 삼중 무게 선형 부호를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 약한 정규 플라티우드 함수로부터 유도된 선형 부호의 정확한 무게 분포는 무엇인가?
• RQ3 구성된 부호의 모든 비영 부호어가 최소가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 새로운 부호의 매개변수는 문헌에 기록된 기존 부호들과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 레이지프 기호와 추적 함수는 부호의 무게 분포를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 플라티우드 부울 함수로부터 새로운 삼중 무게 이진 선형 부호의 가족이 구성되었으며, 무게 분포가 명시적으로 규명되었다.
• 홀수 소수 $p$에 대해, 논문은 약한 정규 플라티우드 $p$-진 함수를 도입하고 $\mathbb{F}_{p^m}$ 위에서 구체적인 예를 제시한다.
• 구성된 $p$-진 부호는 세 가지의 서로 다른 비영 무게를 가지며, 레이지프 기호 합과 모멘트 분석을 통해 정확한 수가 유도되었다.
• $m \geq 4$ 이고 $0 \leq r \leq m-4$ 이면, $p$-진 부호의 모든 비영 부호어는 최소이며, 조건 $\frac{p-1}{p} < \frac{w_{\text{min}}}{w_{\text{max}}}$ 를 만족한다.
• $m \geq 3$ 이고 $0 \leq r \leq m-3$ 이면, $m+r$ 가 홀수일 경우 동일한 최소성 결과가 성립한다.
• 구성된 부호들은 매개변수가 이전에 보고된 바와 일치하지 않아 기존 부호들과 비동치임을 입증하였다.