[논문 리뷰] A new description of equivariant cohomology for totally disconnected groups

Christian Voigt|ArXiv.org|2004. 12. 07.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 바움과 슈나이더의 이분형 등변 코homology 이론을 바탕으로, 완전히 이산적인 군에 대한 등변 코homology에 대한 새로운 기술을 수립한다. 이는 매끄러운 작용을 하는 유한차원이고 국소적으로 유한한 $G$-심플렉스 복합체 위에서 이분형 등변 코homology가 등변 순환 호몰로지와 자연스럽게 위상동형임을 증명함으로써 이루어진다. 주요 기여는 자연스러운 위상동형 $ HP^{G}_{*}(C^{\tiny{\text{\infty}}}_{c}(X),C^{\tiny{\text{\infty}}}_{c}(Y)) \cong \bigoplus_{j\in\mathbb{Z}}H^{*+2j}_{G}(X,Y) $을 제공하며, 순환 호몰로지 기반 접근법을 통합하고 바움-콘스턴트 추측의 맥락에서 이러한 코homology 이론의 구조를 해결한다.

ABSTRACT

We consider smooth actions of totally disconnected groups on simplicial complexes and compare different equivariant cohomology groups associated to such actions. Our main result is that the bivariant equivariant cohomology theory introduced by Baum and Schneider can be described using equivariant periodic cyclic homology. This provides a new approach to the construction of Baum and Schneider as well as a computation of equivariant periodic cyclic homology for a natural class of examples. In addition we discuss the relation between cosheaf homology and equivariant Bredon homology. Since the theory of Baum and Schneider generalizes cosheaf homology we finally see that all these approaches to equivariant cohomology for totally disconnected groups are closely related.

연구 동기 및 목표

• 완전히 이산적인 군에 대한 등변 코homology에 대한 다수의 이질적인 접근법을 통합하기 위해.
• 바움-슈나이더의 이분형 등변 코homology와 등변 순환 호몰로지 사이의 정확한 관계를 설정하기 위해.
• $G$-심플렉스 복합체 위에서 등변 브레돈 호몰로지와 코시피 호몰로지 사이의 자연스러운 위상동형을 보여주기 위해.
• 기하학적 맥락에서 등변 순환 호몰로지에 대한 계산 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 심플렉스 복합체 위에서 컴팩트 지지를 가진 매끄러운 $G$-등변 함수를 사용하여 순환 호몰로지 프레임워크 내의 대수로 간주하는 것, 표기 $C^{\tiny{\text{\infty}}}_{c}(X)$.
• 미분 형식과 순환 호몰로지 사이의 관계를 유도하기 위해 호크시لد-코스타ント-로젠버그 정리의 등변판을 적용하는 것.
• 코시피 호몰로지에서 브레돈 호몰로지로의 자연스러운 체인 사상 $\phi$를 구성하고, 이것이 위상동형임을 보이는 것.
• 완전한 심플렉스 복합체에 대해 완전히 이산적인 군 $G$의 매끄럽고 완전한 작용을 갖는 $G$-심플렉스 복합체로 정의하는 것.
• 정 stabilizer 부분군의 표현환 $\mathcal{R}(G_\sigma)$ 간의 유도 사상 $\iota^\eta_\sigma$를 사용하여 코시피 구조를 정의하는 것.
• 명시적인 역사상 $\psi$를 통한 증명을 통해 $\phi: S^G_*(X;\mathcal{R}_X) \to C^*_{\text{Or}(G,\mathcal{F})}(X;\mathcal{R})$의 위상동형을 확립함으로써 체인 수준의 동치를 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전히 이산적인 군에 대해 바움-슈나이더의 이분형 등변 코homology와 등변 순환 호몰로지 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ2 심플렉스 복합체 위에서 매끄러운 작용을 하는 경우 바움과 슈나이더 이론은 순환 호몰로지 기반으로 재해석될 수 있는가?
• RQ3 등변 브레돈 호몰로지와 코시피 호몰로지 사이의 위상동형은 $G$-심플렉스 복합체의 맥락에서 성립하는가?
• RQ4 이 설정에서 순환 호몰로지와 바움-콘스턴트 추측 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 등변 순환 호몰로지와 이분형 등변 코homology 사이의 자연스러운 위상동형이 확립되었다: $ HP^{G}_{*}(C^{\tiny{\text{\infty}}}_{c}(X),C^{\tiny{\text{\infty}}}_{c}(Y)) \cong \bigoplus_{j\in\mathbb{Z}}H^{*+2j}_{G}(X,Y) $, 유한차원이고 국소적으로 유한한 $G$-심플렉스 복합체에서 $X$가 완전할 때 성립한다.
• 코시피 호몰로지와 등변 브레돈 호몰로지 사이의 자연스러운 위상동형이 $G$-심플렉스 복합체의 범주에서 확인되었으며, 역체인 사상 $\phi$와 $\psi$를 구성함으로써 증명되었다.
• 사상 $\phi$는 $G$-작용과 코인variants를 유지하는 체인 사상이며, 그 역사상 $\psi$는 원래 체인 복합체를 재구성한다.
• 매니폴드 위에서 이산 군이 작용하는 바움-콘스턴트 이론은 주요 위상동형의 변형을 통해 특수한 경우로 복원된다.
• 순환 호몰로지에서 공변 모듈의 구조 분석을 위해 군 $G$를 타원형과 쌍곡형 원소로 분해하는 방법을 사용한다.
• 심플렉스 복합체의 기하학적 자료를 활용하여 등변 순환 호몰로지에 대한 새로운 계산 프레임워크를 제공한다.