[논문 리뷰] A new family of efficient rectangular conforming mixed finite elements for linear elasticity in the symmetric formulation

Jun Hu|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 19.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 대칭 응력 형식을 사용하는 선형 탄성에 대한 새로운 혼합 유한요소 가족을 제안한다. 응력에는 풍부화된 BDFM 및 세렌디피티 요소를, 변위에는 풍부화된 불연속 $P_{k-1}$ 또는 $Q_{k-1}$ 요소를 사용한다. 이 방법은 최적 수렴 속도와 잘 정의됨을 확보하며, 최저 순서 요소는 2차원에서 10+4, 3차원에서 21+6 개의 자유도를 가진다.

ABSTRACT

A new family of mixed finite elements is proposed for solving the classical Hellinger-Reissner mixed problem of the elasticity equations. For two dimensions, the normal stress of the matrix-valued stress field is approximated by an enriched Brezzi-Douglas-Fortin-Marini element of order $k$, and the shear stress by the serendipity element of order $k$, the displacement field by an enriched discontinuous vector-valued $P_{k-1}$ element. The degrees of freedom on each element of the lowest order element, which is of first order, is $10$ plus $4$. For three dimensions, the normal stress is approximated by an enriched Raviart-Thomas element of order $k$, and each component of the shear stress by a product space of the serendipity element space of two variables and the space of polynomials of degree $\leq k-1$ with respect to the rest variable, the displacement field by an enriched discontinuous vector-valued $Q_{k-1}$ element. The degrees of freedom on each element of the lowest order element, which is of first order, is $21$ plus $6$. A family of reduced elements is also proposed by dropping some interior bubble functions of the stress and employing the discontinuous vector-valued $P_{k-1}$ (resp. $Q_{k-1}$) element for the displacement field on each element. As a result the lowest order elements have $8$ plus $2$ and $18$ plus $3$ degrees of freedom on each element for two and three dimensions, respectively. The well-posedness condition and the optimal a priori error estimate are proved for this family of finite elements. Numerical tests are presented to confirm the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 대칭 응력 형식을 사용하는 선형 탄성에 대해 안정적이고 효율적인 혼합 유한요소 방법을 개발한다.
• 표준 유한요소 공간을 풍부화시켜 혼합 형식에서의 굳힘 현상과 안정성 문제를 해결한다.
• 모의 및 축소 변형 모두에 대해 최적 수렴 속도와 잘 정의됨을 보장한다.
• 저순서 경우에 대해 최소 자유도를 갖는 혼합 요소의 체계적 구성 방법을 제공한다.

제안 방법

• 2차원에서 법선 응력에 대해 순서 $k$의 풍부화된 브레즈지-두블라-포르틴-마리니(BDFM) 요소를 사용한다.
• 2차원에서 변위 장에 대해 순서 $k-1$의 풍부화된 불연속 벡터형 $P_{k-1}$ 요소를 사용한다.
• 3차원에서는 법선 응력을 순서 $k$의 풍부화된 라비아르트-톰슨 요소로 근사하고, 각각의 전단 응력 성분은 순서 $\leq k-1$인 단변수 다항식과 세렌디피티 공간의 곱으로 표현한다.
• 3차원에서 변위에 대해 순서 $k-1$의 풍부화된 불연속 벡터형 $Q_{k-1}$ 요소를 사용한다.
• 응력에서 내부 버블 함수를 제거하고 변위에 대해 불연속 $P_{k-1}$ 또는 $Q_{k-1}$ 요소를 사용함으로써 축소된 요소를 제안한다.
• 엄밀한 분석을 통해 잘 정의됨을 확립하고 최적의 사전 오차 추정치를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 자유도를 사용하여 대칭 응력 형식을 갖는 선형 탄성에 대해 안정적인 혼합 유한요소 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 풍부화 기법은 응력 및 변위 장의 근사 향상에 어떻게 기여할 수 있으며, 최적 수렴을 유지할 수 있는가?
• RQ3 2차원 및 3차원에서 안정적인 저순서 혼합 요소에 필요한 최소 자유도 수는 얼마인가?
• RQ4 축소된 변형의 방법은 최적 수렴과 잘 정의됨을 유지하는가?
• RQ5 제안된 방법은 모의 및 축소 형식 모두에 대해 최적 오차 추정치를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 최저 순서의 모의 요소는 2차원에서 요소당 10 + 4, 3차원에서 21 + 6 개의 자유도를 가지며, 최소 복잡도와 최적 성능를 보장한다.
• 축소된 요소는 2차원에서 요소당 8 + 2, 3차원에서 18 + 3 개의 자유도로 잘 정의됨과 최적 수렴을 달성한다.
• 모의 및 축소된 요소 가족 모두에 대해 최적의 사전 오차 추정치가 증명되었으며, 최적 수렴 속도가 확인된다.
• 응력 공간의 철저한 풍부화와 적절한 변위 근사 선택을 통해 안정성이 확보된다.
• 수치 실험은 이론적 예측을 확인하며, 실질적으로 최적 수렴을 보여준다.
• 제안된 방법은 굳힘 현상을 효과적으로 피하고, 다양한 다항식 순서에서 최적 수렴을 유지한다.