[논문 리뷰] A new fractional derivative of variable order with non-singular kernel and fractional differential equations

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 18.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\psi$-Caputo 및 $\psi$-Riemiemann-Liouville 공식에 기반한 비정상 핵을 가진 변수 순서 분수도를 두 가지 새로이 도입한다. 이는 고전적 사례를 극한으로 포함하는 일반적인 분수선형 연산자 클래스를 가능하게 한다. 주요 기여는 비정상 핵을 지닌 변수 순서 분수미분방정식의 해의 유계성과 유일성을 보장하는 비교 원리 및 수렴 결과를 확립한 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce two new non-singular kernel fractional derivatives and present a class of other fractional derivatives derived from the new formulations. We present some important results of uniformly convergent sequences of continuous functions, in particular the Comparison's principle, and others that allow, the study of the limitation of fractional nonlinear differential equations.

연구 동기 및 목표

• 기존의 공식을 변수 순서와 기준 함수 $\psi(t)$를 통해 일반화하는 비정상 핵을 지닌 새로운 분수도 클래스를 개발하기 위해.
• 비선형 분수미분방정식 분석을 위한 이론적 기초—특히 수렴성 및 비교 원리—를 확립하기 위해.
• 새로운 도함수가 $\alpha(t) \to 1$ 또는 $\alpha(t) \to 0$의 극한에서 고전적 분수미분연산자로 복원됨을 보여주기 위해.
• 비선형 분수미분방정식에 대한 해의 유계성과 유일성을 보장하는 충분한 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 기각 함수 $\psi(t)$를 사용하여 비정상 핵을 지닌 변수 순서의 $\psi$-Riemann-Liouville 및 $\psi$-Caputo 분수도 두 가지를 제안한다. 이는 Mittag-Leffler 함수를 활용한다.
• 함수 $\psi(t)$에 대한 변수 순서 Riemann-Liouville 분수적분을 정의하며, 이는 컴팩트 구간에서 균일 수렴성을 보장한다.
• 비정상 핵을 보장하기 위해 $\beta \to 1$인 Mittag-Leffler 함수 $\mathbb{E}_{\beta}(z)$를 활용하여 지수 감쇠를 유도한다.
• 분수미분방정식의 비교 원리를 분수도의 부호 분석과 함께 $\alpha(t) \to 1$ 또는 $\alpha(t) \to 0$의 극한을 적용하여 수립한다.
• 중간값 정리와 연속 함수의 수렴 수열의 성질을 활용하여 해의 행동과 유일성을 분석한다.
• 비선형 항 $f(t,u)$를 선형 함수 $\lambda_1 u + h_1(t)$ 및 $\lambda_2 u + h_2(t)$로 유계화함으로써 해의 추정치를 유도한다. 여기서 $\lambda_1, \lambda_2 < 0$이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변수 순서와 기준 함수 $\psi(t)$를 사용하여 비정상 핵을 지닌 새로운 분수도 클래스를 정의할 수 있는가?
• RQ2 새로운 분수도는 $\alpha(t) \to 1$ 및 $\alpha(t) \to 0$의 극한에서 어떻게 행동하며, 고전적 분수미분연산자로 복원되는가?
• RQ3 비선형 분수미분방정식에 대한 해의 유계성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 변수 순서, 비정상 핵을 지닌 분수미분방정식에 대해 비교 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ5 비선형 항에 대한 선형 유계화를 통해 비선형 분수미분방정식의 해를 어떻게 추정할 수 있는가?

주요 결과

• 새로운 분수도는 변수 순서 $\alpha(t)$와 단조 증가하는 양수 함수 $\psi(t)$를 통해 정의되며, 비정상성과 균일 수렴성을 보장한다.
• $\alpha(t) \to 1$의 극한에서 고전적 Caputo 도함수가 복원되며, $\alpha(t) \to 0$일 경우 항등원 연산자가 된다. 이는 기존 사례와의 일致성을 입증한다.
• 비교 원리가 수립되었다: $^{C}\mathfrak{D}_{a+}^{\alpha(t);\psi}z(t) - \lambda z(t) \leq 0$ 이고 $\lambda < 0$ 이면 $z(t) \leq 0$ 이다. 이는 해의 유계성을 가능하게 한다.
• 비선형 방정식 $^{C}\mathfrak{D}_{a+}^{\alpha(t);\psi}u(t) = f(t,u)$ 에 대해 $f(t,u)$ 가 $u$ 에 대해 감소함수이면, $H^1(a,b)$ 내에서 해는 유일하다.
• $f(t,u)$ 가 $\lambda_1 u + h_1(t)$ 및 $\lambda_2 u + h_2(t)$ 로 유계화되고 $\lambda_1, \lambda_2 < 0$ 이면, 해 $u(t)$ 는 $v_2(t) \leq u(t) \leq v_1(t)$ 를 만족한다. 여기서 $v_1, v_2$ 는 관련 선형 방정식의 해이다.
• 결과적으로 비교 및 수렴 기법을 통해 변수 순서, 비정상 핵을 지닌 비선형 분수미분방정식의 해에 대해 존재성, 유일성, 유계성이 보장된다.