[논문 리뷰] A New Fractional Derivative with Classical Properties

Udita N. Katugampola|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 24.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 7인용 수 161

한 줄 요약

이 논문은 독립 변수의 지수적 스케일링을 포함하는 극한을 통해 정의된 새로운 분수계 도함수를 제안한다. 이 도함수는 선형성, 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙, 롤의 정리 및 평균값 정리와 같은 모든 고전적 미적분학 성질을 만족하며, α=1일 때 고전적 도함수로 축소된다. 주요 기여는 비정수 차수에 대해 기본적인 미적분학 법칙을 유지하는 잘 정의된 분수계 도함수를 제공함으로써, 비정수 차수에 대한 일관된 미적분학을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We introduce a new fractional derivative which obeys classical properties including: linearity, product rule, quotient rule, power rule, chain rule, vanishing derivatives for constant functions, the Rolle's Theorem and the Mean Value Theorem. The definition, \[ D^α(f)(t) = \lim_{ε ightarrow 0} \frac{f(te^{εt^{-α}}) - f(t)}ε, \] is the most natural generalization that uses the limit approach. For $0\leq α< 1$, it generalizes the classical calculus properties of polynomials. Furthermore, if $α= 1$, the definition is equivalent to the classical definition of the first order derivative of the function $f$. Furthermore, it is noted that there are $α-$differentiable functions which are not differentiable.

연구 동기 및 목표

• 기존 분수계 도함수의 일관성 문제를 해결하기 위해, 곱의 법칙 및 연쇄법칙과 같은 고전적 미적분학 법칙을 만족하지 못하는 문제를 해결한다.
• 비정수 차수, 특히 0 < α < 1에 대해 고전적 미적분학 성질을 일반화하는 분수계 도함수를 개발한다.
• α = 1일 때 고전적 도함수로 축소되는 분수계 도함수를 정의한다.
• 고전적 미적분학의 기본 정리를 만족하는 역 분수적 적분을 확립한다.
• 새로운 도함수의 기하학적 및 물리적 해석을 탐색하고, 비미분 가능 함수에 대한 적용 가능성을 검토한다.

제안 방법

• 고전적 도함수를 일반화하는 극한 정의를 통한 새로운 분수계 도함수 제안: $\mathcal{D}^{\alpha}(f)(t) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(t e^{\epsilon t^{-\alpha}}) - f(t)}{\epsilon}$.
• 새로운 도함수의 연속성 및 미분 가능성 성질을 확립하여, α-미분 가능성은 연속성을 함의함을 보여준다.
• 새로운 도함수가 고전적 미적분학 법칙을 만족함을 증명: 선형성, 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙, 그리고 상수 함수의 도함수는 0이다.
• α ∈ (n, n+1]에 대해 반복 도함수를 사용하여 고차 분수계 도함수로의 확장을 수행한다.
• 분수적 적분을 $\mathcal{I}^{\alpha}_{a}(f)(t) = \int_{a}^{t} \frac{f(x)}{x^{1-\alpha}} dx$로 정의하며, 이는 분수계 도함수의 역함수로 증명된다.
• 연속 함수에 대해 $\mathcal{D}^{\alpha}(\mathcal{I}^{\alpha}_{a}(f))(t) = f(t)$임을 보여주어 역관계를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙과 같은 모든 고전적 미적분학 법칙을 만족하는 분수계 도함수를 정의할 수 있는가?
• RQ2 α = 1일 때 새로운 도함수가 고전적 도함수로 축소되는가?
• RQ3 α ∈ (n, n+1]에 대해 새로운 도함수를 고차 분수계 도함수로 확장할 수 있는가?
• RQ4 새로운 분수계 도함수를 역으로 하는 분수적 적분이 존재하는가? 이는 기본 정리를 만족하는가?
• RQ5 새로운 분수계 도함수의 기하학적 또는 물리적 해석은 무엇이며, 리만-리우빌 도함수 및 카푸토 도함수와 다름에도 불구하고 이를 어떻게 설명할 수 있는가?

주요 결과

• 새로운 분수계 도함수는 모든 고전적 미적분학 법칙을 만족한다: 선형성, 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙, 그리고 상수 함수의 도함수는 0이다.
• 상수 함수의 도함수가 모든 α ∈ (0,1]에 대해 0이 되어, 이전 분수계 도함수의 핵심 일관성 문제를 해결한다.
• t^n의 도함수는 n t^{n-\alpha}로, 고전적 거듭제곱 법칙을 일반화한다.
• α = 1일 때 새로운 도함수는 정확히 고전적 일阶 도함수로 축소된다: $\mathcal{D}^{1}(f)(t) = t^{0} \frac{df}{dt}(t) = \frac{df}{dt}(t)$.
• 분수적 적분 $\mathcal{I}^{\alpha}_{a}(f)(t) = \int_{a}^{t} \frac{f(x)}{x^{1-\alpha}} dx$는 분수계 도함수의 역함수이며, 연속 함수에 대해 $\mathcal{D}^{\alpha}(\mathcal{I}^{\alpha}_{a}(f)) = f$를 만족한다.
• 고전적으로 미분 가능하지 않은 함수들, 예를 들어 $f(t) = 3t^{1/3}$은 α-미분 가능하며, t > 0이면 $\mathcal{D}^{1/3}(f)(t) = 1$이 된다. 이는 t = 0에서 비미분 가능하나도 성립한다.