[논문 리뷰] A new kind of augmentation of filtrations

Joseph Najnudel, Ashkan Nikeghbali|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 오른쪽 연속성과 일반 조건 사이에 위치하는 새로운 필터링 증강인 N-증강을 소개한다. 이는 일관된 확률측도 가족의 확장과 확률과정의 정규 버전 보장 간의 갈등을 해결한다. N-증강 하에서 중요한 결과들—예를 들어, 출현 시간 정리와 càdlàg 또는 연속된 적응형 버전의 존재성—이 유지되며, 필요할 경우 측도 확장의 가능성도 유지된다.

ABSTRACT

Let $(Ω,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0},\mathbb{P})$ be a filtered probability space satisfying the usual assumptions: it is usually not possible to extend to $\mathcal{F}_{\infty}$ (the $σ$-algebra generated by $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$) a coherent family of probability measures $(\mathbb{Q}_t)$, each of them being defined on $\mathcal{F}_t$. It is known that for instance, on the Wiener space, this extension problem has a positive answer if one takes the filtration generated by the coordinate process, but can have a negative answer if one takes its usual augmentation. On the other hand, the usual assumptions are crucial in order to obtain the existence of regular versions of paths for most stochastic processes of interest, such as the local time of the standard Brownian motion, stochastic integrals, etc. In order to fix this problem, we introduce a new property for filtrations, intermediate between the right continuity and the usual conditions. We show that most of the important results of the theory of stochastic processes which are generally proved under the usual augmentation, such as the existence of regular version of trajectories or the début theorem, still hold under the N-augmentation; moreover this new augmentation allows the extension of a coherent family of probability measures whenever this is possible with the original filtration.

연구 동기 및 목표

• 일반 증강 하에서 측도 확장이 불가능한 상황이지만, 정규 과정 버전(예: càdlàg 국소 시간)의 존재성은 요구되는 갈등을 해결하기 위해.
• 일반 조건보다 약한데도 대부분의 확률과정 결과에 충분한 새로운 필터링 성질인 N-일반 가정을 제안하기 위해.
• 원래 필터링이 허용하는 경우에 한해, N-증강이 경로의 정규 버전 존재성을 유지하고 측도 확장을 가능하게 함을 보여주기 위해.
• 기본 공간인 $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$와 $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$에서, N-증강 하에 일관된 측도 가족이 확장 가능함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 원래 필터링과 $\mathcal{F}_0$ 내에 있는, 각각 $\mathcal{F}_n$에 속하는 영집합 $B_n$의 가산 합집합의 부분집합인 모든 집합을 포함하는 가장 작은 필터링으로 N-증강을 정의한다.
• N-일반 가정을 도입한다: 오른쪽 연속성과 $\mathcal{F}_0$가 $\mathcal{F}_n$의 영집합들의 가산 합집합에 속하는 모든 집합을 포함함.
• N-증강 하에서 출현 시간 정리와 과정들(예: 국소 시간)의 càdlàg/연속된 적응형 버전 존재성이 여전히 성립함을 증명한다.
• 만약 $\mathcal{F}_t$ 상에서 $\mathbb{Q}_t$ 가 $\mathbb{P}_t$ 에 대해 절대연속적이라면, N-증강 하에서 $\mathbb{Q}$ 는 $\mathcal{F}_\infty$ 로 유일하게 확장됨을 보인다.
• N-증강 하에서 $\mathbb{P}$ 에서의 N-영집합이 $\mathbb{Q}$ 에서도 N-영집합으로 남아 있음을 이용하여, 확장의 일관성을 확보한다.
• 측도 확장이 가능한 파르타사라티의 조건을 상기하고, 이들이 $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 와 $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 에서 만족됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 증강이 측도 확장을 막는 상황에서, 일관된 확률측도 가족 $\mathbb{Q}_t$ 가 $\mathcal{F}_\infty$ 로 확장될 수 있을까? 이때도 여전히 정규 과정 버전이 유지되는가?
• RQ2 일반 조건보다 엄밀히 약한데도, 국소 시간과 같은 과정의 càdlàg 또는 연속된 적응형 버전 존재성을 보장할 수 있는 필터링 증강이 존재하는가?
• RQ3 N-증강이 출현 시간 정리 및 확률과정 이론의 기본 결과들을 유지하는 데에 충분한가?
• RQ4 와이너 공간에서 N-증강은 일관된 측도의 확장과 동시에 0에서 국소 시간의 càdlàg 버전 존재를 보장하는가?
• RQ5 N-일반 가정은 $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 와 $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 와 같은 기본 공간에서 경로의 정규 버전 존재에 충분한가?

주요 결과

• 필터링의 N-증강은 국소 시간이 0인 브라운 운동과 같은 확률과정의 càdlàg 또는 연속된 적응형 버전 존재성을 유지한다.
• N-증강 하에서 출현 시간 정리는 여전히 유효하여, 선택적 및 예측 가능 시간이 가측임을 보장한다.
• 만약 $\mathcal{F}_t$ 상에서 $\mathbb{Q}_t$ 가 $\mathbb{P}_t$ 에 대해 절대연속적이라면, N-증강 하에서 $\mathbb{Q}$ 는 $\mathcal{F}_\infty$ 로 유일하게 확장된다.
• $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 와 $\mathcal{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ 는 좌표 과정 필터링을 갖추고 있으며, N-증강 하에서 일관된 측도 가족은 항상 $\mathcal{F}_\infty$ 로 확장 가능하다.
• N-증강은 $\mathbb{P}$ 에서의 모든 N-영집합이 $\mathbb{Q}$ 에서도 N-영집합으로 남아 있음을 보장하여, 확장된 측도의 유일성과 일관성을 보장한다.
• N-증강은 일반 증강보다 엄밀히 약하지만, 정규 버전 존재성과 측도 확장과 같은 스트로복 분석의 핵심 결과 유지를 충분히 보장한다.