[논문 리뷰] A new three-parameter lifetime distribution and associated inference

Min Wang|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 19.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 18인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 린들레이 분포와 기하분포를 복합하여 실패 시간 데이터를 더 유연하게 모델링할 수 있는 새로운 3파라미터 수명 분포인 지수 린들레이 기하분포(ELG)를 제안한다. ELG 분포는 기존의 린들레이 및 기하-린들레이 분포보다도 더 낮은 AIC/BIC 값과 최대우도추정법을 통해 EM 알고리즘으로 추정한 결과, 실제 구호 시간 데이터에 더 잘 맞는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

In this paper, a new three-parameter lifetime distribution is introduced and many of its standard properties are discussed. These include shape of the probability density function, hazard rate function and its shape, quantile function, limiting distributions of order statistics, and the moments. The unknown parameters are estimated by the maximum likelihood estimation procedure. We develop an EM algorithm to find the maximum likelihood estimates of the parameters, because they are not available in closed form. The Fisher information matrix is also obtained and it can be used for constructing the asymptotic confidence intervals. Finally, a real-data application is given to demonstrate the performance of the new distribution.

연구 동기 및 목표

• 린들레이 및 기하-린들레이 분포를 일반화하는 더 유연한 3파라미터 수명 분포를 개발하기 위해.
• 성분 수가 랜덤이고 비상수 위험도를 가지는 시스템을 모델링하여 지수분포의 한계를 보완하기 위해.
• 실제 수명 데이터에 더 잘 맞는 강력한 통계적 모델을 제공하여 신뢰성 및 생존 분석에 활용하기 위해.
• 모멘트, 분위수, 위험도 함수 형태와 같은 주요 분포 특성을 유도하기 위해.
• 최대우도추정법을 통한 추론 절차를 개발하고, 닫힌 형식의 해가 없는 경우 EM 알고리즘을 활용하며, 피셔 정보 행렬을 이용한 신뢰구간을 제공하기 위해.

제안 방법

• 형태 파라미터 θ를 가진 린들레이 분포와 성공 확률 p를 가진 기하분포를 복합하여 시스템 고장 시간을 모델링하기 위해.
• 누적분포함수(CDF)를 F(x) = G(x)^α / (1 - p + p·G(x)^α)로 유도하며, 여기서 G(x)는 린들레이 CDF이고 α는 병렬 성분의 수이다.
• 닫힌 형식의 해가 없기 때문에, 매개변수 α, θ, p의 최대우도추정치(MLE)를 산출하기 위해 EM 알고리즘을 사용한다.
• 매개변수에 대한 점근적 신뢰구간을 구성하기 위해 피셔 정보 행렬을 계산한다.
• 모델 비교를 위해 아카이케(AIC), 베이지안(BIC), 보정 AIC(AICc) 기준을 적용한다.
• 실제 데이터로 모델을 검증하기 위해 그로스와 클락(Gross and Clark, 1975)의 20명 환자의 구호 시간 데이터를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 린들레이 및 기하분포를 복합하여 새로운 3파라미터 수명 분포를 구성함으로써 모델링의 유연성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 새로운 분포의 확률밀도함수 및 위험도 함수의 형태가 기존 모델인 린들레이 및 지수분포와 비교하여 어떻게 다른가?
• RQ3 기존 표준 모델인 감마, 위베일, 기하-린들레이 분포와 비교할 때, 새로운 분포가 실제 수명 데이터에 유의미하게 더 나은 적합도를 보이는가?
• RQ4 닫힌 형식의 해가 없을 경우, EM 알고리즘이 새로운 분포의 매개변수를 효과적으로 추정할 수 있는가?
• RQ5 정보 기준(AIC, BIC, AICc) 및 우도비검정을 통해 새로운 분포의 통계적 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 지수 린들레이 기하(ELG) 분포는 지수분포 및 표준 린들레이 분포보다 비상수 위험도를 더 잘 모델링할 수 있는 더 큰 유연성을 제공한다.
• ELG 분포는 적합된 모든 모델들(ELG, 감마, 위베일, LG) 중에서 가장 낮은 AIC(37.1056), BIC(40.0928), AICc(38.6056) 값을 기록하여 구호 시간 데이터에 대해 더 나은 적합도를 보였다.
• H₀: α = 1(즉, LG 대비 ELG)에 대한 우도비검정에서 검정통계량 ω = 7.5667, p-값 = 0.0059를 기록하여 단순한 LG 모델을 기각할 강력한 증거를 제공하였다.
• ELG 모델의 추정된 매개변수는 â = 15.5628, θ̂ = 1.5270, p̂ = 0.9059였으며, 이는 많은 성분 수와 기하분포 성분에 대한 강한 의존성을 나타내었다.
• 실제 생존함수와 적합된 ELG 생존함수 간의 일치도가 모든 모델 중에서 가장 높았으며, 이는 더 나은 총합 적합도를 확인하였다.
• 피셔 정보 행렬을 유도하고 이를 이용하여 매개변수에 대한 점근적 신뢰구간을 구성함으로써 추론의 타당성을 뒷받침하였다.