[논문 리뷰] A Non-commutative Version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing

Zeqian Chen|ArXiv.org|2001. 12. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양자 확률 공간에서 자산 가격 정리의 기본 정리에 대한 비가환적 대응을 수립하며, 자산 가격 과정이 반바위 대수 구조에서 존재할 때, 무위험 자산의 부재(위험 감소를 동반한 무료 점심)가 존재하지 않는 것과 마팅게일 상태의 존재가 동치임을 증명한다. 주요 기여는 고정된 상태에 대한 조건부 기대를 통해 정의된 상태 기반 마팅게일을 사용한 비가환적 등가 마팅게일 측도 조건의 비가환적 버전을 제시함으로써, 고전적 자산 가격 이론을 양자 금융 모델로 확장하는 데 있다.

ABSTRACT

In this note, a non-commutative analogue of the fundamental theorem of asset pricing in mathematical finance is proved.

연구 동기 및 목표

• 고전적 자산 가격 정리의 비가환(양자) 확률 공간으로의 확장을 위해.
• 반바위 대수 프레임워크 내에서 양자 무위험 자산과 양자 거래 전략의 개념을 체계화하기 위해.
• 무위험 자산이 존재하지 않을 조건에서 등가 마팅게일 측도 조건의 비가환적 대응을 수립하기 위해.
• 고정된 상태를 사용하여 추적 상태가 아닌 비가환적 환경에서 마팅게일의 개념을 일반화하기 위해.
• 위험 감소를 동반한 무료 점심이 존재하지 않으면 자산 가격 과정에 대해 마팅게일 상태가 존재함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 유한한 반바위 대수 A와 충실한 정규 추적 상태 τ를 사용하여 비가환적 확률 공간을 체계화한다.
• 정보의 흐름을 나타내는 A의 단위를 포함하는 약한 닫힘 *-부분대수인 필터레이션 (A_t)을 도입한다.
• 고정된 상태 σ에 대해 비가환 마팅게일을 {M_t}의 가족으로 정의하며, 이는 (A_t)에 적응되어 있고, 모든 a ∈ A_s 및 s ≤ t에 대해 σ(aM_t a*) = σ(aM_s a*)를 만족한다.
• Yan(1980)의 고갈 추론을 사용하여 A 위의 양의 선형 함수에 대한 최대 지지 집합을 구성한다.
• 논문의 보조정리 2를 적용하여 정규화된 함수 τ_{b_0}가 가격 과정 X에 대해 마팅게일 상태임을 보인다.
• 모순을 통한 주요 결과 증명: 만약 그러한 마팅게일 상태가 존재하지 않는다면, 위험 감소를 동반한 무료 점심을 구성할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 금융 시장에서 무위험 자산이 존재하지 않을 조건이 반바위 대수 내 자산 가격에 대해 마팅게일 상태의 존재와 어떻게 관련되는가?
• RQ2 추적 상태에 의존하지 않고 비가환적 확률 공간으로의 등가 마팅게일 측도의 고전적 개념을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 위험 감소를 동반한 무료 점심의 개념을 비가환적 환경에서 상태 기반 마팅게일 조건으로 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ4 선형 함수의 지지 집합이 비가환 자산 가격 정리에서 마팅게일 상태를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 추적 상태가 아닌 고정된 상태 σ를 사용할 경우 비가환 마팅게일의 정의와 성질에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 무위험 자산이 존재하지 않음(위험 감소를 동반한 무료 점심 없음)은 자산 가격 과정 X에 대해 마팅게일 상태의 존재와 동치이다.
• 비가환 마팅게일은 모든 a ∈ A_s 및 s ≤ t에 대해 σ(aM_t a*) = σ(aM_s a*) 조건을 통해 정의되며, 고전적 정의를 일반화한다.
• 함수 τ_{b_0}에 대해 최대 지지 집합 s(τ_{b_0}) = 1이 존재하면 τ_{b_0}가 충실한 상태임을 의미한다.
• 정규화된 함수 τ_{b_0}가 X에 대해 마팅게일 상태임을 입증하여, 비가환 환경에서 등가 마팅게일 측도의 존재를 증명한다.
• 양의 함수의 지지 집합의 격자에 대한 고갈 추론을 사용하여 최대 원소의 존재를 보장함으로써 증명이 기반된다.
• 결과는 고전적 자산 가격 정리의 기본 정리를 비가환적 확률 공간으로 일반화하며, 양자 금융 모델의 기초를 제공한다.