[논문 리뷰] A note on plurisubharmonic defining functions in C^2

John Erik Fornæss, Anne-Katrin Herbig|arXiv (Cornell University)|2006. 09. 04.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 7인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 ℂ² 내의 매끄럽게 경계가 있는 도메인에서 경계에서 다중하모닉 함수인 매끄러운 정의 함수를 갖는다면, Diederich-Fornæss 지수를 1에 임의로 가까이 설정할 수 있으며, 도메인의 폐포는 스타인 이웃 기저를 갖는다. 이는 정의 함수의 가중치 편향을 이용한 개선된 다중하모닉 출구 함수를 구성함으로써 달성되며, 경계 근처의 곡률 추정치를 활용한다.

ABSTRACT

Let D be a smoothly bounded domain in C^2. Suppose that D admits a smooth defining function which is plurisubharmonic on the boundary of D. Then the Diederich-Fornaess exponent can be chosen arbitrarily close to 1, and the closure of D admits a Stein neighborhood basis.

연구 동기 및 목표

• ℂ² 내 도메인의 경계에서 다중하모닉 함수인 정의 함수가 복소 헤시안 행렬의 경계 근처 행동에 미치는 영향을 조사한다.
• 경계에서 다중하모닉 함수라는 추가 조건 하에서, 허위볼록 도메인 내 정의 함수의 복소 헤시안에 대한 표준 하한 추정치를 개선한다.
• 이 조건 하에서 도메인과 그 여집합에 대해 엄격한 다중하모닉 출구 함수의 존재를 확립한다.
• Diederich-Fornæss 지수가 1에 임의로 가까이 설정될 수 있으며, 도메인의 폐포가 스타인 이웃 기저를 갖는다는 것을 증명한다.

제안 방법

• 정의 함수의 외부 법선 방향에 따른 타일러 전개를 이용해, 복소 헤시안을 경계 값과 경계에서의 거리로 표현한다.
• 헤시안 추정치 향상의 장애 요소를 외부 단위 법선 $ N $ 과 탄성 벡터장 $ L $ 에 대해 $ NH_{\rho}(L,L) $ 의 부호로 식별한다.
• 음의 곡률 기여를 보완하기 위해 새로운 정의 함수 $ r = \rho e^{C|H_{\rho}(N,L)|^2} $ 를 구성한다.
• 임의의 $ \epsilon > 0 $ 과 $ K > 0 $ 에 대해, $ \overline{\Omega} \cap V $ 에서 $ H_{r_1}(\xi,\xi) \geq \epsilon r_1|\xi|^2 + K|\langle \partial r_1, \xi \rangle|^2 $ 과 유사한 추정치를 만족하는 정의 함수 $ r_1 $ 과 $ r_2 $ 가 존재함을 증명한다.
• 개선된 헤시안 추정치를 이용해 가중치 출구 함수 $ -(-\widetilde{r}_1)^\eta $ 과 $ \widetilde{r}_2^\eta $ 를 구성하며, $ \eta \in (0,1) $ 과 $ \eta > 1 $ 에 대해 각각 엄격한 다중하모닉 함수임을 증명한다.
• 기존의 Diederich-Fornæss 지수 및 스타인 이웃 기저에 관한 결과를 활용하여 주요 추론을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℂ² 내 매끄럽게 경계가 있는 허위볼록 도메인에서 경계에서 다중하모닉 함수인 매끄러운 정의 함수를 갖는다면, Diederich-Fornæss 지수를 1에 임의로 가까이 설정할 수 있는가?
• RQ2 경계에서 다중하모닉 함수인 정의 함수의 존재는 도메인의 폐포가 스타인 이웃 기저를 갖는다는 것을 의미하는가?
• RQ3 정의 함수가 경계에서 다중하모닉 함수일 경우, 복소 헤시안은 경계 근처에서 어떻게 행동하는가?
• RQ4 이 경계 다중하모닉 조건 하에서 도메인과 그 여집합에 대해 엄격한 다중하모닉 출구 함수를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 $ \epsilon > 0 $ 과 $ K > 0 $ 에 대해, 정의 함수 $ r_1 $ 과 $ r_2 $ 가 존재하여, $ \overline{\Omega} \cap V $ 에서는 $ H_{r_1}(\xi,\xi) \geq \epsilon r_1|\xi|^2 + K|\langle \partial r_1, \xi \rangle|^2 $ 과 $ \overline{\Omega^c} \cap V $ 에서는 $ H_{r_2}(\xi,\xi) \geq -\epsilon r_2|\xi|^2 + K|\langle \partial r_2, \xi \rangle|^2 $ 를 만족한다. 여기서 $ V $ 는 $ b\Omega $ 에 대한 어떤 이웃이다.
• 도메인 $ \Omega $ 의 Diederich-Fornæss 지수는 1에 임의로 가까이 설정될 수 있으며, 이는 $ -(-\widetilde{r}_1)^\eta $ 가 $ \Omega $ 에서 임의의 $ \eta \in (0,1) $ 에 대해 엄격한 다중하모닉 함수임을 의미한다.
• 임의의 $ \eta > 1 $ 에 대해, $ b\Omega $ 에 대한 이웃 $ V $ 와 정의 함수 $ \widetilde{r}_2 $ 가 존재하여, $ \widetilde{r}_2^\eta $ 는 $ V \setminus \overline{\Omega} $ 에서 엄격한 다중하모닉 함수이다.
• 도메인 $ \Omega $ 의 폐포는 스타인 이웃 기저를 갖는다. 이는 $ b\Omega $ 가 균일하게 H-볼록하다는 것을 의미한다.
• 헤시안 추정치 향상의 장애 요소는 $ NH_{\rho}(L,L) $ 로 정량화되며, 이 장애 요소는 정의 함수의 conformal 유사한 편향을 통해 보정할 수 있다.
• 개선된 정의 함수의 구성은 원래 정의 함수에 $ e^{C|H_{\rho}(N,L)|^2} $ 를 곱하는 방식으로 이루어지며, 이는 경계 근처의 음의 곡률 기여를 효과적으로 상쇄한다.