[논문 리뷰] A note on QUBO instances defined on Chimera graphs

Sanjeeb Dash|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 McGeoch와 Wang의 D-Wave Two 실험에서 유도된 QUBO 인스턴스—Chimera 그래프에 정의된 것들—이 CPLEX의 혼합정수선형계획법(MILP) 솔버를 사용해 단일 코어에서 100초 이내에 최적해를 구할 수 있음을 보여준다. 이는 CPLEX MIQP 솔버가 보고한 30분에 못 미치는 빠른 속도이다. 이 속도 향상에도 불구하고 D-Wave 시스템은 여전히 이 인스턴스들에서 CPLEX를 앞서며, 이는 양자 우월성이 정확한 최적화가 아니라 히ュ리스틱 효율성에 기인할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

McGeoch and Wang (2013) recently obtained optimal or near-optimal solutions to some quadratic unconstrained boolean optimization (QUBO) problem instances using a 439 qubit D-Wave Two quantum computing system in much less time than with the IBM ILOG CPLEX mixed-integer quadratic programming (MIQP) solver. The problems studied by McGeoch and Wang are defined on subgraphs -- with up to 439 nodes -- of Chimera graphs. We observe that after a standard reformulation of the QUBO problem as a mixed-integer linear program (MILP), the specific instances used by McGeoch and Wang can be solved to optimality with the CPLEX MILP solver in much less time than the time reported in McGeoch and Wang for the CPLEX MIQP solver. However, the solution time is still more than the time taken by the D-Wave computer in the McGeoch-Wang tests.

연구 동기 및 목표

• McGeoch와 Wang의 D-Wave 실험에서 유도된 QUBO 인스턴스가 Chimera 그래프에 정의되어 있음에도 불구하고, 빠른 고전적 알고리즘이 존재하는 바에도 D-Wave Two가 고전적 솔버를 앞서는 이유를 탐구하기 위해.
• CPLEX의 MILP 솔버가 McGeoch와 Wang의 D-Wave 실험에서 유도된 QUBO 인스턴스에 대해 성능을 평가하고, 특히 그들이 보고한 MIQP 솔버 시간과 비교하기 위해.
• 문제 구조—특히 비영인 필드의 존재—가 고전적 솔버가 QUBO 인스턴스를 해결하는 데 미치는 영향을 평가하기 위해.
• 양자 하드웨어가 최적해 보장을 제공하지 못하는 바, 히ュ리스틱 방법이 유사한 인스턴스에서 D-Wave 시스템의 성능을 따라하거나 뛰어넘을 수 있는지 탐색하기 위해.
• 자르기 평면과 솔버 파라미터가 고전적 하드웨어에서 구조화된 QUBO 인스턴스의 해결 속도에 미치는 영향을 검토하기 위해.

제안 방법

• 표준 선형화 기법을 사용해 McGeoch와 Wang의 D-Wave 실험에서 유도된 QUBO 인스턴스를 혼합정수선형계획형태(MILP)로 재구성하였다.
• 스핀 변수를 선형화하기 위해 $ s_i = 2x_i - 1 $ 변환을 적용하여 이징 모델(IM) 인스턴스를 QUBO 형태로 변환하였으며, 목적함수와 정수성 제약 조건을 유지하였다.
• CPLEX의 MILP 솔버에 대해 강력한 자르기 평면 생성 기능을 활성화하기 위해 `set mip cuts gomory 2` 및 `set mip cuts zerohalf 2`를 사용하여 해결 시간을 가속화하였다.
• 32에서 439개 노드까지의 인스턴스에 대해 단일 코어 및 다중 코어 환경에서의 해결 시간을 측정하였으며, 다양한 그래프 크기 간의 비교를 수행하였다.
• 국소 내림차순과 무작위 변형을 번갈아 적용해 局부 최적해에서 벗어나기 위한 랜덤화된 국소 탐색 히ュ리스틱을 평가하였다.
• 이 히ュ리스틱의 성능을 알려진 최적해와 비교하였으며, 시뮬레이션 안내법 및 전용 솔버의 결과와도 비교하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 McGeoch와 Wang의 D-Wave 실험에서 유도된 동일한 QUBO 인스턴스를 고전적 MILP 솔버가 그들이 보고한 MIQP 솔버 시간보다 더 빨리 해결할 수 있는가?
• RQ2 이징 모델 인스턴스에서 비영인 필드($ h_i $)의 존재가 고전적 솔버가 해당 QUBO 문제를 해결하는 데 미치는 어려움에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 CPLEX에서 자르기 평면 전략이 Chimera 그래프 상의 구조화된 QUBO 인스턴스 해결 시간을 얼마나 줄이는가?
• RQ4 간단한 국소 탐색 히ュ리스틱이 이 인스턴스들에서 D-Wave Two 시스템보다 더 빨리 최적 또는 근사 최적해를 얻을 수 있는가?
• RQ5 이 특정 인스턴스들에 대해 더 빠른 고전적 정확 알고리즘이 존재하는 바, D-Wave Two 시스템이 왜 고전적 솔버를 앞서는가?

주요 결과

• CPLEX MILP 솔버는 단일 코어에서 600개의 McGeoch-Wang QUBO 인스턴스를 모두 최적해로 해결했으며, 최대 해결 시간은 93.8초였고, CPLEX MIQP 솔버가 보고한 최대 1800초보다 훨씬 빠르게 해결하였다.
• 4개 코어를 사용할 경우 최대 해결 시간은 62.2초로 감소하였고, 평균 해결 시간은 19.8초였으며, 이는 MILP 접근법의 강력한 확장성(스케일러빌리티)을 보여주었다.
• 원래 인스턴스에서 무작위 필드 항($ h_i $)을 제거한 경우, 해당 QUBO 인스턴스는 매우 어려워졌으며, 8개 코어에서 최악의 경우 20,000초 이상이 소요되었다.
• 최적해를 따뜻한 시작점(warm start)으로 제공받더라도, 439노드 인스턴스의 평균 해결 시간은 22.8초였으며, 이는 대부분의 계산 시간이 최적성 증명에 소요된다는 것을 시사한다.
• 간단한 랜덤화된 국소 탐색 히ュ리스틱은 8개 코어를 사용해 439노드 인스턴스의 100개 중 최소 99개에서 0.25초 이내에 최적해를 발견하였다. 이는 D-Wave 시스템이 기본적인 국소 탐색을 넘어서는 문제를 해결하고 있음을 시사한다.
• Boixo 등과 Selby의 히ュ리스틱은 각각 30ms 및 10ms 내에 유사한 인스턴스를 해결하며, 이는 고전적 히ュ리스틱이 이 벤치마크에서 D-Wave의 성능을 따라하거나 뛰어넘을 수 있음을 시사한다.