[논문 리뷰] A note on Renner monoids

Eddy Godelle|ArXiv.org|2009. 04. 06.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모든 Renner 모노이드에 대해 모노이드 표현과 새로운 길이 함수를 제시하며, Coxeter 군 이론을 대수적 모노이드로 확장한다. 길이 함수는 Coxeter 길이를 일반화하며, Bruhat 분해와 잘 어울리며, 핵심 결과로는 Hecke 대수와의 호환성 및 이중 코스레트 차원을 포함하는 기하학적 공식이 입증된다.

ABSTRACT

We provide every Renner monoids with a monoid presentation, and we introduce a length function which extends the Coxeter length function.

연구 동기 및 목표

• Renner 모노이드에 대해 Coxeter 유사 이론을 개발함으로써, 대수적 군 이론에서 Weyl 군이 차지하는 역할과 유사하게 선형 대수적 모노이드 이론에서 중요한 역할을 하는 Renner 모노이드에 대해 이론을 확립한다.
• 그럼에도 불구하고 구조적 중요성에도 불구하고 Renner 모노이드에 대한 체계적인 모노이드 표현과 길이 함수 이론이 부족한 점을 해결한다.
• Coxeter 길이를 일반화하고 기하학적 및 조합적 성질이 양호한 새로운 길이 함수를 제안한다.
• 이 길이 함수와 Renner 모노이드의 Hecke 대수 사이의 연결 고리를 확립하며, 특히 로크 모노이드의 경우에 대한 기존 결과를 일반화한다.
• Bruhat 분해에서 이중 코스레트의 차원을 사용하여 길이 함수에 대한 기하학적 공식을 제공한다.

제안 방법

• 생성자 $ S \bigcup \tilde{\text{L}} $ 를 사용하여 임의의 Renner 모노이드 $ R(M) $ 에 대해 모노이드 표현을 구성한다. 여기서 $ S $ 는 Coxeter 생성집합이고, $ \tilde{\text{L}} $ 은 아이디포텐트의 교차 레이어의 항등원이 아닌 원소들의 집합이다.
• 관계 정의: (COX1)과 (COX2)는 Coxeter 군 부분에 대해; (TYM1), (TYM2), 및 (TYM)은 생성자와 아이디포텐트 간의 상호작용에 대해.
• 길이 함수 $ \ell $ 을 정의한다. $ s \in S $ 에 대해 $ \ell(s) = 1 $, $ e \in \tilde{\text{L}} $ 에 대해 $ \ell(e) = 0 $ 으로 설정하고, 단어에 대해 덧셈적으로 확장한 후 최소 대표 길이를 취한다.
• 요소 $ R(M) $ 의 정규 분해 $ (w_1, e, w_2) $ 를 사용하여 단순 반사에 의한 곱셈에 따른 길이 함수의 행동을 분석한다.
• 기하학적 공식 수립: $ \ell(w) = \dim(Bw_1 e B) - \dim(B e w_2 B) $, 여기서 $ (w_1, e, w_2) $ 는 $ w $ 의 정규 분해이다.
• 길이 함수가 Bruhat 유사 분해 규칙을 만족함을 증명한다: $ BsBwB $ 는 $ \ell(sw) = \ell(w) $, $ \ell(sw) = \ell(w)+1 $, 또는 $ \ell(sw) = \ell(w)-1 $ 인지에 따라 각각 $ BwB $, $ BswB $, 또는 $ BswB \cup BwB $ 와 같다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 Renner 모노이드에 대해 기존의 로크 모노이드의 경우를 일반화한 체계적인 모노이드 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ2 Coxeter 길이를 일반화하고 단순 반사에 의한 곱셈에 대해 잘 행동하는 길이 함수가 Renner 모노이드에 존재하는가?
• RQ3 이중 코스레트 차원을 포함한 Bruhat 분해에서 길이 함수에 대한 기하학적 해석은 가능한가?
• RQ4 새로운 길이 함수는 고전적 Solomon 길이 함수와 어떻게 관련되어 있으며, Hecke 대수의 구조와 어떻게 연관되는가?
• RQ5 $ \ell(sw) = \ell(w) $, $ \ell(sw) = \ell(w)+1 $, 또는 $ \ell(sw) = \ell(w)-1 $ 이 되는 조건은 무엇이며, 이는 정규 분해와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• Renner 모노이드 $ R(M) $ 는 생성자 $ S \cup \Lambda_{\circ} $ 와 관계 (COX1), (COX2), (TYM1), (TYM2), (TYM)을 갖는 모노이드 표현을 갖는다. 이는 로크 모노이드의 경우를 일반화한다.
• 새로운 길이 함수 $ \ell $ 는 $ sw $ 의 정규 분해에 따라 $ \ell(sw) = \ell(w) $, $ \ell(sw) = \ell(w)+1 $, 또는 $ \ell(sw) = \ell(w)-1 $ 를 만족하며, 이를 정형화한 것이 Proposition 0.2이다.
• 길이 함수는 기하학적으로 실현 가능하다: $ \ell(w) = \dim(Bw_1 e B) - \dim(B e w_2 B) $, 여기서 $ (w_1, e, w_2) $ 는 $ w $ 의 정규 분해이다.
• 새로운 길이 함수는 분해에서 상수 이동까지 일치하는 Solomon 길이 함수와 일치한다. $ \ell(sw) - \ell(w) = \tilde{l}(sw) - \tilde{l}(w) $ 를 통해 $ \tilde{l} $ 는 Solomon 길이를 나타낸다.
• 단위군 $ W $ 에 속하는 $ w $ 에 대해 길이 함수는 표준 Coxeter 길이로 축소된다: $ \ell(w) = \dim(BwB) - \dim(B) $.
• 길이 함수는 $ \ell(we) \leq \ell(w) $ 와 $ \ell(ew) \leq \ell(w) $ 를 만족하며, 등호가 성립하는 것은 $ we $ 또는 $ ew $ 의 정규 분해가 특정 방식으로 유지될 때에 한하여 성립한다. 이는 Corollary 3.4에 의해 입증된다.