[논문 리뷰] A Note on Self-Dual Generalized Reed-Solomon Codes

Weijun Fang, Jun Zhang외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 24.

Coding theory and cryptography참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한체 내의 곱셈 부분군과 그 여유류를 기반으로 한 평가 집합을 사용하여, 자기수정 GRS 코드를 구성하는 방식으로 네 가지의 새로운 MDS 자기수정 일반화된 리드-솔로몬(GRS) 코드 가족을 제안한다. 자기수정 GRS 코드를 생성하기 위해 모비우스 변환(PGL₂ 작용)을 활용하는 체계적인 방법을 도입하여, $ \mathbb{F}_q $ 위에서 길이 $ n < q+1 $ 인 모든 자기수정 확장 GRS 코드가 무한대 점을 포함하지 않는 표준 GRS 코드로부터 유도될 수 있음을 증명한다.

ABSTRACT

A linear code is called an MDS self-dual code if it is both an MDS code and a self-dual code with respect to the Euclidean inner product. The parameters of such codes are completely determined by the code length. In this paper, we consider new constructions of MDS self-dual codes via generalized Reed-Solomon (GRS) codes and their extended codes. The critical idea of our constructions is to choose suitable evaluation points such that the corresponding (extended) GRS codes are self-dual. The evaluation set of our constructions is consists of a subgroup of finite fields and its cosets in a bigger subgroup. Four new families of MDS self-dual codes are obtained and they have better parameters than previous results in certain region. Moreover, by the Mobius action over finite fields, we give a systematic way to construct self-dual GRS codes with different evaluation points provided any known self-dual GRS codes. Specially, we prove that all the self-dual extended GRS codes over $\mathbb{F}_{q}$ with length $n&lt; q+1$ can be constructed from GRS codes with the same parameters.

연구 동기 및 목표

• 기존 문헌에서 다루지 않은 영역에서 향상된 매개변수를 가진 새로운 MDS 자기수정 코드 가족을 구성하기 위해.
• 프로젝티브 선형군 PGL₂(𝔽_q)의 자동형사를 활용하여 자기수정 GRS 코드를 체계적으로 생성하는 방법을 개발하기 위해.
• 길이 $ n < q+1 $ 인 $ \mathbb{F}_q $ 위의 자기수정 확장 GRS 코드가 무한대 점을 포함하지 않는 표준 GRS 코드로부터 유도될 수 있음을 증명하기 위해.
• 유한체 내 곱셈 부분군과 그 여유류가 자기수정 GRS 코드의 평가 집합으로서 수행하는 역할을 탐색하기 위해.

제안 방법

• 유한체 $ \mathbb{F}_q^* $ 내의 곱셈 부분군과 그 여유류의 합집합을 평가 집합으로 선택하여 자기수정 GRS 코드를 구성하기 위해.
• PGL₂(𝔽_q) 작용을 평가 점에 적용하여 모비우스 변환을 통해 알려진 자기수정 GRS 코드로부터 새로운 자기수정 GRS 코드를 생성하기 위해.
• GRS 코드가 PGL₂(𝔽_q) 작용에 대해 자동형성 성질을 가지며, 변환 공식 $ g_k G_k = G_k \Pi(g) \Delta_k(g) $ 를 활용하기 위해.
• 새로운 평가 집합에 해당하는 열의 부분집합에 대해 변환된 생성 행렬을 제약하여 새로운 스케일링 벡터를 유도하기 위해.
• 길이 $ n < q+1 $ 인 모든 자기수정 확장 GRS 코드가 무한대 점을 평가 집합에서 제거하는 적절한 모비우스 변환을 선택함으로써 표준 GRS 코드로부터 유도될 수 있음을 증명하기 위해.
• 모비우스 변환 $ g = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ 가 무한대를 유한 원소로 매핑하므로, 평가 집합에서 무한대 점을 제거할 수 있음을 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 내 곱셈 부분군과 그 여유류를 기반으로 한 구조화된 평가 집합을 사용하여 새로운 MDS 자기수정 GRS 코드 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ2 PGL₂(𝔽_q) 작용을 어떻게 체계적으로 활용하여 알려진 자기수정 GRS 코드로부터 새로운 자기수정 GRS 코드를 생성할 수 있는가?
• RQ3 자기수정 확장 GRS 코드의 평가 집합에서 무한대 점을 제거하면서도 자기수정 성질을 유지하는 것이 가능한가?
• RQ4 GRS 코드가 $ \mathbb{F}_q $ 위에서 자기수정이 되기 위한 평가 집합에 대한 必要 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ5 길이 $ n < q+1 $ 인 모든 자기수정 확장 GRS 코드가 모비우스 변환을 통해 표준 GRS 코드로부터 구성될 수 있는가?

주요 결과

• 이전 결과에서 다루지 않은 영역에서 매개변수를 포함하는 네 가지의 새로운 MDS 자기수정 코드 가족이 구성되었다.
• 모비우스 작용은 어떤 알려진 자기수정 GRS 코드로부터도 새로운 자기수정 GRS 코드를 체계적으로 생성할 수 있는 방법을 제공한다.
• 길이 $ n < q+1 $ 인 $ \mathbb{F}_q $ 위의 모든 자기수정 확장 GRS 코드가 무한대 점을 포함하지 않는 표준 GRS 코드로부터 유도될 수 있음을 증명하였다.
• 부분군과 그 여유류를 이용한 평가 집합 구성 방식은 향상된 매개변수 커버리지로 MDS 자기수정 코드를 이끌어낸다.
• 길이 $ n < q+1 $ 인 모든 자기수정 확장 GRS 코드에 대해, 적절한 모비우스 변환을 통해 무한대 없이 $ \mathbb{F}_q $ 위에서의 자기수정 GRS 코드가 존재한다.
• 이 방법은 새로운 평가 집합이 군 작용에 대해 닫혀 있고, 적절한 스케일링 벡터 조정을 통해 자기수정 성질을 유지함을 보장한다.