[논문 리뷰] On the Constructions of MDS Self-dual Codes via Cyclotomy

Aixian Zhang, Keqin Feng|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 13.

Coding theory and cryptography참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위에서 일반화된 리드-솔로몬(GRS) 및 확장된 GRS(EGRS) 코드를 사용하여 MDS 자기수반 코드의 새로운 구성법을 제안한다. 평가 집합은 체의 곱셈군의 순환클래스들의 합집합으로 구성된다. 순환수를 통해 자기수반 조건을 표현함으로써, 이전까지 알려지지 않은 길이를 가진 새로운 MDS 자기수반 코드의 시리즈를 유도하였으며, 특히 홀수 소수 거듭제곱 및 다양한 순환도 수준에서 성립한다.

ABSTRACT

MDS self-dual codes over finite fields have attracted a lot of attention in recent years by their theoretical interests in coding theory and applications in cryptography and combinatorics. In this paper we present a series of MDS self-dual codes with new length by using generalized Reed-Solomon codes and extended generalized Reed-Solomon codes as the candidates of MDS codes and taking their evaluation sets as an union of cyclotomic classes. The conditions on such MDS codes being self-dual are expressed in terms of cyclotomic numbers.

연구 동기 및 목표

• 이전까지 알려지지 않은 길이를 가진 유한체 위에서 새로운 MDS 자기수반 코드를 구성하기 위해.
• 평가 집합으로 하위군이나 부분공간을 사용한 이전의 구성법을 일반화하기 위해 순환클래스의 합집합을 활용하기 위해.
• GRS 및 EGRS 코드로부터 유도된 MDS 코드가 자기수반일 조건을 순환수 이론을 통해 필요충분조건으로 설정하기 위해.
• 순환수 이론의 적용 범위를 이전의 반반순환 케이스를 초월하여 MDS 자기수반 코드 구성에 확장하기 위해.
• 특히 e = 4 및 e = 2에 대해 다양한 순환도 수준에서 명시적인 MDS 자기수반 코드 가족을 제공하기 위해.

제안 방법

• 구성법은 일반화된 리드-솔로몬(GRS) 및 확장된 GRS(EGRS) 코드를 MDS 코드 후보로 사용한다.
• 평가 집합 S는 F_q^*의 부분군 D = ⟨θ^e⟩의 잔여류들의 합집합으로 선택되며, F_q^* = ⟨θ⟩이다.
• 자기수반성은 특히 선택된 인덱스 집합 I 위에서 (홀수, I−i) 합의 기수성에 의존하는 조건에 의해 결정된다.
• 이 방법은 순환도 e = 2 및 e = 4에 대한 기존의 순환수 결과, 특히 그 기수성과 대수적 구조를 활용한다.
• 저자는 정리 3.3을 적용하여 순환수 기수성 조건을 자기수반 코드 존재 조건으로 변환한다.
• 특정 구성은 e = 2 및 e = 4에 대해 유도되며, 소수 거듭제곱 q가 4, 8, 16로 나누어 떨어지는 경우에 따라 상세한 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 유한체 F_q와 순환클래스들의 합집합에 대해 GRS 및 EGRS 코드를 통해 MDS 자기수반 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 MDS 코드가 자기수반일 조건으로서 순환수에 필요한 및 충분한 조건은 무엇인가?
• RQ3 결과적으로 유도된 MDS 자기수반 코드의 매개변수(길이, 체 크기)는 순환도 e와 인덱스 집합 I의 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 이 구성법은 이전 문헌에서 알려지지 않은 새로운 코드 길이를 도출할 수 있는가?
• RQ5 이차 특성과 분해 q = s² + 4t²는 이러한 코드의 존재 조건을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• e = 2일 때, q ≡ 1 (mod 4) 이면 2f + 2 ∈ Σ(eg, q); q ≡ 1 (mod 8) 이면 f + 2 ∈ Σ(eg, q).
• q ≡ 3 (mod 4) 이면 2f + 2 ∈ Σ(eg, q); q ≡ 7 (mod 8) 이면 f + 1 ∈ Σ(eg, q) ∩ Σ(g, q).
• e = 4 및 p ≡ 1 (mod 4)일 때, 2 | f (즉, q ≡ 1 (mod 8)) 이면 f, 2f ∈ Σ(g, q) 이고 f + 2, 2f + 2, 4f + 2 ∈ Σ(eg, q).
• q ≡ 1 (mod 16) 이고 4 | t 이거나, q ≡ 9 (mod 16) 이고 t ≡ 2 (mod 4) 이면 3f ∈ Σ(g, q) 이고 3f + 2 ∈ Σ(eg, q).
• p ≡ 3 (mod 4)일 때, p ≡ 7 (mod 8) 이거나 p ≡ 3 (mod 8) 이고 2 | m 이면 f, 2f ∈ Σ(g, q) 이고 1 ≤ l ≤ 4 이면 fl + 2 ∈ Σ(eg, q).
• 반반순환 케이스에서 p ≡ 3 (mod 8) 이고 2 ∤ m 이면 1 ≤ l ≤ 3 이면 fl ∈ Σ(g, q) 이고 l = 1, 2, 4 이면 fl + 2 ∈ Σ(eg, q).