[논문 리뷰] A note on some sub-Gaussian random variables

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 07.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소수 이산 랜덤 변수 $X_l(m,N)$의 초정규성 성질을 조사한다. 이는 $\{1, \dots, N\}$ 에서 균일하게 비복원으로 선택된 $m$-번째 단위근의 합으로 정의된다. $|X_l(m,N)|$, $|U_l(m,N)|$, $|V_l(m,N)|$ 의 기대값에 대해 초정규 노름 $\|\cdot\|_{\psi_2}$ 를 사용하여 날카로운 상한과 하한을 도출하며, 삼각함수 합 항등식과 $m$ 및 $N$ 이 modulo 4 인 경우에 따른 케이스 분석을 통해 명시적인 표현을 유도한다.

ABSTRACT

In [8] the author of this paper continued the research on the complex-valued discrete random variables $X_l(m,N)$ ($0\le l\le N-1$, $1\le M\le N)$ recently introduced and studied in [24]. Here we extend our results by considering $X_l(m,N)$ as sub-Gaussian random variables. Our investigation is motivated by the known fact thatthe so-called Restricted Isometry Property (RIP) introduced in [4] holds with high probability for any matrix generated by a sub-Gaussian random variable. Notice that sensing matrices with the RIP play a crucial role in Theory of compressive sensing. Our main results concern the proofs of the lower and upper bound estimates of the expected values of the random variables $|X_l(m,N)|$, $|U_l(m,N)|$ and $|V_l(m,N)|$, where $U_l(m,N)$ and $U_l(m,N)$ are the real and the imaginary part of $X_l(m,N)$, respectively. These estimates are also given in terms of related sub-Gaussian norm $\Vert \cdot\Vert_{ψ_2}$ considered in [28]. Moreover, we prove a refinement of the mentioned upper bound estimates for the real and the imaginary part of $X_l(m,N)$.

연구 동기 및 목표

• 복소수 이산 랜덤 변수 $X_l(m,N)$ 의 이전 연구를 확장하여 초정규 랜덤 변수로 분석한다.
• 초정규 노름 $\|\cdot\|_{\psi_2}$ 에 따라 $\mathbb{E}[|X_l(m,N)|]$, $\mathbb{E}[|U_l(m,N)|]$, $\mathbb{E}[|V_l(m,N)|]$ 의 날카로운 상한과 하한을 확립한다.
• 삼각함수 합 기법을 사용하여 $X_l(m,N)$ 의 실수부 및 허수부에 대한 기존 상한 추정치를 개선한다.
• $m$ 과 $N$ 의 모든 홀짝성 및 모듈로 사례에 대해 허수부 $V_l(m,N)$ 의 $L^\infty$-노름에 대해 명시적인 닫힌 형태의 표현을 제공한다.

제안 방법

• 랜덤 변수 $X_l(m,N)$ 는 $N$-번째 단위근 중에서 균일하게 비복원으로 선택된 $m$ 개의 서로 다른 원소의 합으로 정의된다.
• 실수부 $U_l(m,N)$ 와 허수부 $V_l(m,N)$ 는 삼각함수 항등식과 합 공식을 사용하여 별도로 분석된다.
• 분석은 $m$ 과 $N \mod 4$ 의 홀짝성에 따라 케이스 분류를 통해 진행되며, $V_l(m,N)$ 의 최대 절댓값에 대한 별개의 삼각함수 표현이 도출된다.
• 초정규 노름 $\|X_l(m,N)\|_{\psi_2}$ 는 尾행동을 유계화하고 기대값 추정치를 도출하는 데 사용된다.
• extremal values of $V_l(m,N)$ 를 계산하기 위해 항등식 $\sum_{k=a}^{b} \sin(2k\pi/N) = \frac{\sin(m\pi/N) \sin(\text{adjustment term})}{\sin(\pi/N)}$ 이 적용된다.
• 모든 케이스에서 통합하기 위해, $m$ 이 짝수일 경우 $\|V_l(m,N)\|_{\infty}$ 는 항상 $\frac{\sin(m\pi/N) \sin((2\lfloor N/4\rfloor + 1)\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$ 와 일치하며, 홀수일 경우 $\frac{\sin(m\pi/N) \sin(2\lfloor(N+1)/4\rfloor\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$ 와 일치함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초정규 노름 $\|\cdot\|_{\psi_2}$ 에 따라 $\mathbb{E}[|X_l(m,N)|]$ 의 가장 날카로운 상한과 하한은 무엇인가?
• RQ2 실수부 $U_l(m,N)$ 와 허수부 $V_l(m,N)$ 의 기대 크기는 $m$ 과 $N$ 에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 모든 모듈로 사례에 걸쳐 $V_l(m,N)$ 의 $L^\infty$-노름을 통합된 닫힌 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ4 기존의 $\mathbb{E}[|U_l(m,N)|]$ 와 $\mathbb{E}[|V_l(m,N)|]$ 의 상한 추정치에 대해 어떤 개선을 가질 수 있는가?
• RQ5 멀티셋 $\Phi(l,N)$ 의 구조는 $X_l(m,N)$ 의 초정규 행동에 어떻게 영향을 주는가?

주요 결과

• 일반적으로 $m$ 이 짝수이고 $N \equiv 1$ 또는 $3 \pmod{4}$ 일 경우, 허수부 $V_l(m,N)$ 의 $L^\infty$-노름은 $\|V_l(m,N)\|_{\infty} = \frac{\sin(m\pi/N) \sin((2\lfloor N/4\rfloor + 1)\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$ 로 유계화된다.
• 짝수 $m$ 과 $N \equiv 0$ 또는 $2 \pmod{4}$ 일 경우에도 동일한 표현이 성립한다: $\|V_l(m,N)\|_{\infty} = \frac{\sin(m\pi/N) \sin((2\lfloor N/4\rfloor + 1)\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$, 삼각합의 케이스 분석을 통해 도출된다.
• 홀수 $m$ 일 경우 $\|V_l(m,N)\|_{\infty} = \frac{\sin(m\pi/N) \sin(2\lfloor(N+1)/4\rfloor\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$ 이며, 모든 경우에서 $M_2 = -M_1$ 이므로 최댓값은 $M_1$ 으로 단순화된다.
• $|X_l(m,N)|^2$ 의 기대값은 정확히 $\frac{m(N-m)}{N-1}$ 이며, 균일 샘플링 하에서 분산 구조를 확인한다.
• $N \neq 2l$ 일 경우 실수부와 허수부는 $\mathbb{E}[(U_l(m,N))^2] = \mathbb{E}[(V_l(m,N))^2] = \frac{m(N-m)}{2(N-1)}$ 를 만족하며, 대칭성을 확인한다.
• 논문은 $X_l(m,N)$ 가 초정규임을 입증하며, $\|X_l(m,N)\|_{\psi_2} \lesssim \sqrt{\frac{m(N-m)}{N-1}}$ 라고 도출하여, 이 결과가 압축 센싱의 제한된 조화성 성질(Restricted Isometry Property, RIP)과 연결됨을 보여준다.