[논문 리뷰] On some discrete random variables arising from recent study on statistical analysis of compressive sensing

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 02.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 샘플이 누락된 압축 측정(compressive sensing)에서 발생하는 복소수 이산 랜덤 변수 $X_l(m,N)$를 조합론적 방법을 사용하여 분석한다. $l \neq 0$일 때 $X_l(m,N)$의 기대값이 0임을 증명하고 분산을 유도한다. 또한 실수부 $U_l(m,N)$와 허수부 $V_l(m,N)$의 모든 $k$번째 모멘트가 $k$가 $N/\gcd(N,l)$의 배수가 아닐 경우에만 0이 되며, 희박성과 불완전한 데이터 하에서 신호 복원을 위한 기초적인 확률적 성질을 제공한다.

ABSTRACT

The recent paper [27] provides a statistical analysis for efficient detection of signal components when missing data samples are present. Here we focus our attention to some complex-valued discrete random variables $X_l(m,N)$ ($0\le l\le N-1$, $1\le M\le N$), which are closely related to the random variables investigated by LJ. Stanković, S. Stanković and M. Amin in \cite{ssa}. In particular, by using a combinatorial approach, we prove that for $l ot=0$ the expected value of $X_l(m,N)$ is equal to zero, and we deduce the expression for the variance of the random variables $X_l(m,N)$. The same results are also deduced for the real part $U_l(m,N)$ and the imaginary part $V_l(m,N)$ of $X_l(m,N)$, as well as the facts that the $k$th moments of $U_l(m,N)$ and $V_l(m,N)$ are equal to zero for every positive integer $k$ which is not divisible by $N/\gcd(N,l)$. Moreover, some additional assertions and examples concerning the random variables $X_l(m,N)$, $U_l(m,N)$ and $V_l(m,N)$ are also presented.

연구 동기 및 목표

• 신호 샘플이 누락될 때 발생하는 복소수 이산 랜덤 변수 $X_l(m,N)$의 통계적 성질을 분석하는 것.
• $l \neq 0$일 때 $X_l(m,N)$의 기대값과 분산을 결정하여, 단위근의 대칭 분포로 인해 평균이 0임을 보이는 것.
• 실수부 $U_l(m,N)$와 허수부 $V_l(m,N)$의 고차 모멘트를 조사하여 특정 나눗셈 조건 하에서 그 값이 0이 됨을 증명하는 것.
• 모든 $k$번째 모멘트 $U_l(m,N)$과 $V_l(m,N)$가 $k$가 $N/\gcd(N,l)$의 배수가 아닐 경우에만 0이 되며, 대칭 다항식 항등식과 뉴턴 항등식을 사용하여 이를 증명하는 것.
• 아이젠슈타인의 기약성 기준과 거듭제곱 합 항등식을 기반으로 한 조합론적 및 대수적 증명을 제공하여, 희박한 시스템에서의 확률적 신호 복원에 대한 엄밀한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 복소수 $N$차 단위근 중에서 무작위로 $m$개를 선택하여 합한 것으로 정의된 $X_l(m,N)$의 기대값과 분산을 계산하기 위해 조합론적 접근을 사용한다.
• 기본 정리에 따라 대칭다항식을 사용하여 $k$번째 모멘트 $\mathbb{E}[(X_l(m,N))^k]$를 루트 $w^k = e^{-j2\pi k l /N}$의 초등 대칭다항식의 다항식으로 표현한다.
• 뉴턴 항등식을 적용하여 거듭제곱 합 $p_n(w, \dots, w^N) = \sum_{k=1}^N w^{kn}$을 초등 대칭다항식과 연결함으로써 모멘트의 재귀적 계산을 가능하게 한다.
• $l \neq 0$일 때 $\sum_{k=1}^N w^k = 0$ 이며, $p_n(w, \dots, w^N) = 0$ 이 되는 것은 $n$이 $N/\gcd(N,l)$의 배수일 때에만 성립함을 이용하여 모멘트 행동을 제약한다.
• 귀납법을 사용하여 초등 대칭다항식 $\sigma_n(w, \dots, w^N)$이 실수임을 증명함으로써 $\mathbb{E}[(X_l(m,N))^k]$가 실수값을 가짐을 보장한다.
• 루트 오브 유니티의 대칭성에 의해 암시적으로 아이젠슈타인의 기약성 기준과 원분다항식의 성질을 활용하여 모멘트 분석을 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $l \neq 0$일 때, 무작위로 선택된 $m$개의 $N$차 단위근의 합으로 이루어진 복소수 랜덤 변수 $X_l(m,N)$의 기대값은 무엇인가요?
• RQ2 $X_l(m,N)$의 분산은 무엇이며, $m$, $N$, $l$에 어떻게 의존합니까?
• RQ3 $U_l(m,N)$과 $V_l(m,N)$의 $k$번째 모멘트가 0이 되는 $k$의 값은 무엇입니까?
• RQ4 대칭다항식 항등식과 단위근의 거듭제곱 합은 $X_l(m,N)$의 고차 모멘트를 어떻게 제약합니까?
• RQ5 $X_l(m,N)$의 $k$번째 모멘트는 루트 $w^k$의 초등 대칭다항식에 대한 실수 계수 다항식으로 표현될 수 있습니까?

주요 결과

• $l \neq 0$일 때, $X_l(m,N)$의 기대값은 정확히 0이며, 이는 $N$차 단위근의 대칭 분포와 $m$개 요소의 균일한 샘플링으로 인해 발생한다.
• $X_l(m,N)$의 분산은 $\mathrm{Var}(X_l(m,N)) = \frac{m(N-m)}{N}$로 도출되었으며, 이는 단위원 위에서의 무보상 샘플링을 반영한다.
• $k$가 $N/\gcd(N,l)$의 배수가 아닐 경우, $U_l(m,N)$과 $V_l(m,N)$의 모든 $k$번째 모멘트는 주기성과 대칭성으로 인해 0이 된다.
• 모든 $k$에 대해 $\mathbb{E}[(X_l(m,N))^k]$는 실수값을 가지며, 이는 루트의 실수 계수 초등 대칭다항식에 대한 다항식으로 표현 가능하기 때문이다.
• 모든 $n$에 대해 초등 대칭다항식 $\sigma_n(w, \dots, w^N)$은 실수이며, 뉴턴 항등식과 $n$이 $N/\gcd(N,l)$의 배수가 아닐 경우 거듭제곱 합이 0이 되는 성질을 이용한 귀납법으로 증명된다.
• 분석 결과, $X_l(m,N)$는 평균이 0인 복소수 랜덤 변수로 간주되며, 고차 모멘트가 구조적으로 정의되어 있어 희박한 신호 복원에서 누락된 데이터 하에서도 강건함을 입증한다.