[논문 리뷰] A note on the global stochastic maximum principle for fully coupled forward-backward stochastic systems

Mingshang Hu, Shaolin Ji외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 히우 등[4]의 접근 방식의 적용 가능성을 보장하는 두 가지 일반적인 가정을 도입하여, 비볼록 제어 도메인을 가진 완전히 결합된 전진-역행 스토케스틱 시스템에 대해 글로벌 스토케스틱 최대원리의 확장을 수행한다. 원래의 약한 결합 조건보다 더 약한 조건 하에서 최대원리를 확립하며, 변분 방정식과 쌍대 과정에 대한 존재성과 추정을 증명하고, 상태 공간을 다차원 경우로 일반화한다.

ABSTRACT

Hu et. al 2018 studied a stochastic optimal control problem for fully coupled forward-backward stochastic control systems with a nonempty control domain. By assuming a weakly coupled condition, they established an approach to obtain the first-order, second-order variational equations and the adjoint equations for the states X, Y and Z and deduced the global maximum principle. But it is well known that there are several different conditions such as monotonicity condition, weakly coupled condition and other conditions which can guarantee the existence and uniqueness of the solution to fully coupled FBSDEs. In this note, to overcome the limitations of assuming a specific condition, we propose two kinds of assumptions which can guarantee that the approach developed in Hu et. al 2018 is still applicable. Under these two kinds of assumptions, we obtain the global stochastic maximum principle.

연구 동기 및 목표

• 완전히 결합된 전진-역행 스토케스틱 제어 시스템에서 글로벌 스토케스틱 최대원리 적용을 위해 약한 결합 또는 단조성과 같은 특정 조건이 요구되는 한계를 해결하기 위해.
• 히우 등[4]의 접근 방식이 제1차 및 제2차 변분 방정식과 쌍대 방정식 유도에 있어 유효성을 유지하는 데 필요한 최소한의 일반적인 가정을 규명하기 위해.
• 이러한 일반화된 조건 하에서 글로벌 스토케스틱 최대원리가 성립함을 증명하기 위해, 다차원 상태 과정을 포함한다.
• 새로운 가정 하에서 FBSDE 및 그 변분 방정식의 해에 대한 $L^p$-추정을 수립하기 위해.
• 원래의 스칼라 상태 가정을 초월하여 다차원 상태 변수로의 프레임워크 일반화를 위해.

제안 방법

• 제한적인 약한 결합 조건을 대체할 두 가지 새로운 가정 집합을 제안: 하나는 1차 쌍대 해의 유계성에 기반하고, 다른 하나는 확산 계수 $\sigma$ 가 $z$ 에 대해 선형임을 전제로 한다.
• 스피크 변량 방법을 사용하여 최적성의 필요 조건을 도출하며, $X$, $Y$, $Z$ 의 변분 방정식을 활용한다.
• 새로운 가정 하에서 FBSDE 및 그 변분 방정식의 해에 대한 $L^p$-추정을 수립하여 안정성과 적분 가능성을 보장한다.
• 해의 존재성과 유일성을 확보함으로써 간접적으로 에켈란드 변분 원리를 적용한다.
• 완전히 결합된 FBSDE의 구조를 유지하면서 상태 과정 $X$ 를 스칼라에서 다차원으로 일반화한다.
• 이토의 공식과 그로워발 유형 부등식을 사용하여, 새로운 가정에 기반해 성장과 적분 가능성을 제어함으로써 변분 방정식 해의 바OUNDS를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전히 결합된 FBSDE에 대해 글로벌 스토케스틱 최대원리를 약한 결합 또는 단조성과 같은 특정 구조 조건 없이 확립할 수 있는가?
• RQ2 히우 등[4]의 변분 접근 방식의 유효성을 보장하기 위해 필요한 계수 및 해 성질에 대한 최소한의 가정은 무엇인가?
• RQ3 특정 계수 구조가 아닌 일반적인 가정 하에서 변분 방정식에 대한 $L^p$-추정을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 1차 쌍대 방정식이 고유한 유계 해를 갖는 조건는 무엇이며, 이는 최대원리에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 최적성 조건을 유지하면서 다차원 상태 과정으로의 프레임워크 확장을 어떻게 수행할 수 있는가?

주요 결과

• 두 가지 새로운 일반적인 가정 하에서 글로벌 스토케스틱 최대원리가 확립되었으며, 약한 결합 또는 단조성과 같은 제한적인 구조 조건이 필요 없어졌다.
• 첫 번째 가정—FBSDE의 유일한 해와 1차 쌍대 방정식의 유계 해—는 상태 및 변분 과정에 대한 $L^p$-추정을 보장한다.
• 두 번째 가정—$\sigma$ 가 $z$ 에 대해 선형이며, FBSDE 해, $L^p$-추정, 1차 쌍대 해의 유일성—또한 필요한 추정과 최대원리의 유효성을 보장한다.
• 논문은 두 가정 집합 모두에서 제1차 및 제2차 변분 방정식이 최대원리 유도에 필요한 추정을 만족함을 증명한다.
• 상태 과정 $X$ 는 스칼라에서 다차원으로 일반화되었으며, 이는 프레임워크의 적용 범위를 넓혔다.
• 결과는 비볼록 제어 도메인에서도 안정적으로 유지되며, 펑[16]에서 제기한 비볼록 설정에서의 1차 변분 방정식에 대한 열린 문제를 해결한다.