[논문 리뷰] A global stochastic maximum principle for fully coupled forward-backward stochastic systems

Mingshang Hu, Shaolin Ji외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 06.

Climate Change Policy and Economics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전방-후방 확률 제어 시스템의 비볼록 제어 영역에 대해 전역적인 확률적 최대원리(Stochastic Maximum Principle)를 수립하기 위해, 보조 방정식으로 이차 후방 확률 미분 방정식(Backward Stochastic Differential Equation, BSDE)을 사용하는 새로운 분리 기법을 도입함으로써, 완전히 결합된 전방-후방 확률 제어 시스템에 대한 전역적인 확률적 최대원리를 확립한다. 이 방법은 1차 테일러 전개 항들 간의 숨겨진 관계를 드러내어, 이전 방법들이 확산 계수에 제어 변수가 포함될 경우에 실패하는 한계를 극복하고, 새로운 항을 포함하는 완전한 최대원리를 도출한다.

ABSTRACT

We study a stochastic optimal control problem for fully coupled forward-backward stochastic control systems with a nonempty control domain. For our problem, the first-order and second-order variational equations are fully coupled linear FBSDEs. Inspired by Hu (Hu, Probability, Uncertainty and Quantitative Risk, 2(1) (2017):pp 1-20), we develop a new decoupling approach by introducing an adjoint equation which is a quadratic BSDE. By revealing the relations among the terms of the first-order Taylor's expansions, we estimate the orders of them and derive a global stochastic maximum principle which includes a completely new term. Applications to stochastic linear quadratic control problems are investigated.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 제어 영역을 가진 확률적 재귀 최적 제어 문제에 대해 전역 최대원리를 도출하는 데 있어 열려 있는 문제를 해결하기 위해.
• 확산 항이 제어에 의존하는 확률 시스템에서 고전적인 1차 전개 방법이 실패하는 문제를 해결하기 위해.
• 변분 방정식에서 유도된 완전히 결합된 선형 FBSDE(Fully Coupled Linear Forward-Backward Stochastic Differential Equations)에 대한 새로운 분리 기법을 개발하기 위해.
• Ekeland 변분 원리 기반 접근법에서 나타나는 미지 매개변수를 제거하기 위해.
• 이전의 국소적 또는 고전적 형태에서 찾을 수 없었던 새로운 항을 포함하는 완전한 전역 최대원리를 수립하기 위해.

제안 방법

• FBSDE 시스템의 1차 변분 방정식에서 유도된 이차 BSDE를 보조 방정식으로 도입한다.
• 상태 및 보조 과정의 1차 테일러 전개 항들 간의 숨겨진 관계를 드러내고 이를 활용한다.
• 새로운 분해를 통해 Z(t)의 변동성을 p(t), δσ(t), X₁(t)로 표현함으로써 완전히 결합된 선형 FBSDE를 분리한다.
• 해당 분리된 시스템에 이토의 공식을 적용하여 최적성 조건을 유도하고 해 구조의 타당성을 검증한다.
• Ekeland 변분 원리를 기초로 하지만, 새로운 보조 구조를 통해 미지 매개변수를 제거한다.
• 계수의 적분 가능성 조건과 γ₂(·)의 크기 조건 하에서 보조 과정 (p(·), q(·))의 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 영역이 비볼록이고 확산 계수가 제어에 의존할 경우, 완전히 결합된 전방-후방 확률 제어 시스템에 대해 전역적인 확률적 최대원리를 도출할 수 있는가?
• RQ2 변분 방정식에서 1차 테일러 전개 항들의 역할은 무엇이며, 그 상호의존성을 어떻게 활용하여 분리 기법을 구현할 수 있는가?
• RQ3 Ekeland 변분 원리 접근법에서 나타나는 미지 매개변수를 어떻게 제거하여 폐쇄형 최대원리를 도출할 수 있는가?
• RQ4 이러한 완전히 결합된 설정에서 보조 방정식의 구조는 어떻게 되며, 고전적인 선형 보조 BSDE와 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ5 보조 FBSDE의 해가 유일해지는 조건는 무엇이며, 이는 최대원리의 타당성을 보장하는가?

주요 결과

• 이전에 고려되지 않은 새로운 항을 포함하는 새로운 전역적인 확률적 최대원리가 도출되었으며, 고전적 또는 국소적 최대원리의 범위를 초월한다.
• 1차 변분 방정식은 완전히 결합된 선형 FBSDE이지만, Y₁(t), Z₁(t), 그리고 보조 과정 (p(t), q(t)) 간의 관계를 통해 분리가 가능하다.
• 보조 방정식은 이차 BSDE이며, 이는 스파이크 변량이나 미지 매개변수를 포함하는 Ekeland 원리에 의존하지 않고도 최대원리를 도출할 수 있음을 의미한다.
• γ₂(·)의 크기 조건과 계수의 적분 가능성 조건 하에서 보조 과정 (p(·), q(·))의 유일성이 증명되어 원리의 일관성을 보장한다.
• 이중 전개에서 Z(·)의 충분한 정규성/적분 가능성 부족으로 인한 기술적 장애를 성공적으로 해결하여 이전 연구에서의 핵심 난제를 해결한다.
• 선형-제곱형 확률 제어 문제에 대한 적용 사례를 제시하여 원리의 실용적 관련성과 타당성을 입증한다.