[논문 리뷰] A NOTE ON THE MODIFIED q-GENOCCHI NUMBERS AND POLYNOMIALS WITH WEIGHT (,) AND THEIR INTERPOLATION FUNCTION AT NEGATIVE INTEGERS

Serkan Aracı, Mehmet Acikg ̈ Oz외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 01.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 22인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 무게 (α,β)를 가진 수정된 q-Genocchi 수와 다항식을 도입하여, 동일한 무게를 가진 q-Zeta 함수를 수립하고, 이를 q-Genocchi 수와 연결하는 보간 공식을 유도한다. 생성함수와 라플라스-메린 변환을 이용하여 승법 정리, 위트 유형의 공식, 그리고 히르체츠 Zeta 함수의 일반화를 도출함으로써, 수론에서 q-대체에 대한 더 깊은 통찰을 제공한다.

ABSTRACT

The purpose of this paper concerns to establish modified q-Genocchi numbers and polynomials with weight (�,�). In this paper we investigate special generalized q-Genocchi polynomials and we apply the method of gen- erating function, which are exploited to derive further classes of q-Genocchi polynomials and develop q-Genocchi numbers and polynomials. By using the Laplace-Mellin transformation integral, we define q-Zeta function with weight (�,�) and by presenting a link between q-Zeta function with weight (�,�) and q-Genocchi numbers with weight (�,�) we obtain an interpolation formula for the q-Genocchi numbers and polynomials with weight (�,�). Also we derive distribution formula (Multiplication Theorem) and Witt's type formula for modified q-Genocchi numbers and polynomials with weight (�,�) which yields a deeper insight into the effectiveness of this type of generalizations for q- Genocchi numbers and polynomials. Our new generating function possess a number of interesting properties which we state in this paper. 1. Introduction, Definitions and Notations Recently, q-calculus has served as a bridge between mathematics and physics. Therefore, there is a significant increase of activity in the area of the q-calculus due to applications of the q-calculus in mathematics, statistics and physics. The ma- jority of scientists in the world who use q-calculus today are physicists. q-Calculus is a generalization of many subjects, like hypergeometric series, generating func- tions, complex analysis, and particle physics. In short, q-calculus is quite a popular subject today. One of Important Branch of q-calculus in number theory is q-type of special generating functions, for instance q-Bernoulli numbers, q-Euler numbers, and q-Genocchi numbers, here we introduce a new class of q-type generating func- tion. We introduce q-Genocchi numbers with weight (�,�). When we define a new class of generating functions like, q-Genocchi numbers with weight (�,�), then we face to with this question that can we define a new q-Zeta type function in related of this new class of q-type generating function?. We give a positive answer for our new class of numbers and polynomials. More precisely we show that our q-type gen- erating function is generalization of the Hurwitz Zeta function. Historically many authors have tried to give q-analogues of the Riemann Zeta function � (s), and its related functions. By just following the method of Kaneko et al. (M. Kaneko, N. Kurokawa and M. Wakayama, A variation of Euler's approach to the Riemann Zeta

연구 동기 및 목표

• 생성함수를 이용하여 무게 (α,β)를 가진 새로운 수정된 q-Genocchi 수와 다항식의 클래스를 정의한다.
• 라플라스-메린 적분 변환을 통해 무게 (α,β)를 가진 q-Zeta 함수를 수립한다.
• q-Zeta 함수와 q-Genocchi 수·다항식을 연결하는 보간 공식을 유도한다.
• 수정된 q-Genocchi 수와 다항식에 대한 승법 정리와 위트 유형의 공식을 증명한다.
• 무게를 가진 q-Genocchi 다항식의 프레임워크 내에서 히르체츠 Zeta 함수를 q-대체로 일반화한다.

제안 방법

• 무게 (α,β)를 가진 수정된 q-Genocchi 수와 다항식의 생성함수를 구성한다.
• 라플라스-메린 변환을 적용하여 무게 (α,β)를 가진 q-Zeta 함수를 정의한다.
• 적분 표현을 통해 q-Zeta 함수와 q-Genocchi 수 사이의 함수적 관계를 수립한다.
• 수정된 q-Genocchi 수와 다항식에 대한 승법 정리(분포 공식)를 도출한다.
• 수정된 q-Genocchi 수의 구조적 성질을 드러내기 위해 위트 유형의 공식을 증명한다.
• 제안된 q-Genocchi 프레임워크를 통해 히르체츠 Zeta 함수를 q-대체로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무게 (α,β)를 가진 q-Zeta 함수를 정의할 수 있을까? 이 함수는 동일한 무게를 가진 q-Genocchi 수를 보간할 수 있는가?
• RQ2 무게 (α,β)를 가진 수정된 q-Genocchi 수의 생성함수는 히르체츠 Zeta 함수와 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 무게 (α,β)를 가진 수정된 q-Genocchi 수와 다항식에 대해 승법 및 구조적 공식(예: 승법 정리, 위트 유형의 공식)을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 제안된 q-Genocchi 프레임워크는 고전적 Zeta 함수와 그 q-대체를 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 라플라스-메린 변환은 어떤 방식으로 무게를 가진 q-Genocchi 수와 q-Zeta 함수를 연결하는가?

주요 결과

• 라플라스-메린 적분 변환을 이용하여 무게 (α,β)를 가진 새로운 q-Zeta 함수가 정의된다.
• 무게 (α,β)를 가진 q-Zeta 함수와 동일한 무게를 가진 q-Genocchi 수와 다항식을 연결하는 보간 공식이 수립된다.
• 무게 (α,β)를 가진 수정된 q-Genocchi 수와 다항식에 대한 승법 정리(분포 공식)가 도출된다.
• 구조적 성질을 깊이 있게 드러내는 위트 유형의 공식이 증명된다.
• 무게 (α,β)를 가진 수정된 q-Genocchi 수의 생성함수가 히르체츠 Zeta 함수를 일반화함을 보여준다.
• 이 프레임워크는 고전적 q-Genocchi 수를 성공적으로 확장하고, 리만 및 히르체츠 Zeta 함수의 q-대체를 제공한다.