[논문 리뷰] The Modified q-Euler numbers and polynomials

T. Kim|ArXiv.org|2007. 02. 18.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 6인용 수 78

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 $q$-적분 표현을 통해 새로운 종류의 수정된 $q$-Euler 수 $\mathcal{E}_{n,q}$를 도입한다. 이 수는 $\mathcal{E}_{0,q} = \frac{[2]_q}{2}$ 및 $n=0$일 때 $(q\mathcal{E} + 1)^n + \mathcal{E}_{n,q} = [2]_q$로 정의되며, 그 외의 경우 0이다. 주요 기여는 이러한 수를 음의 정수에서 보간하는 $q$-zeta 함수 $\zeta_q(s,x)$를 구성한 것으로, $\zeta_q(-n,x) = \mathcal{E}_{n,q}(x)$이다. 또한 Dirichlet 문자에 관련된 일반화된 $q$-Euler 수에 대해 명시적인 급수 표현과 함수 방정식을 유도하였다.

ABSTRACT

In the recent paper the interesting q-Euler numbers and polynomials introduced in JMAA. The purpose of this paper is to construct the modified q-Euler numbers and polynomiasl. Finally we will give the interesting many identities related to these numbers and polynomials.

연구 동기 및 목표

• 고전적 Euler 수를 일반화하고 $q \to 1$일 때 이를 충족시키는 새로운 종류의 $q$-Euler 수 $\mathcal{E}_{n,q}$를 정의하는 것.
• 불변 $q$-측도 $\mu_{-q}$를 사용하여 이러한 수의 $p$-진 $q$-적분 표현을 수립하는 것.
• 음의 정수에서 $\mathcal{E}_{n,q}(x)$를 보간하는 $q$-zeta 함수 $\zeta_q(s,x)$를 구성하는 것.
• Dirichlet 문자 $\chi$와 관련된 일반화된 $q$-Euler 수 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$에 대해 명시적인 급수 표현과 함수 방정식을 도출하는 것.

제안 방법

• 생성함수 $F_q(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{E}_{n,q}(x) \frac{t^n}{n!}$를 사용하여 $\mathcal{E}_{n,q}$를 $p$-진 $q$-적분 $\int_{\mathbb{Z}_p} [x]_q^n d\mu_{-q}(x)$로 정의한다.
• 식 $\mathcal{E}_{n,q}(x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty (-1)^k [k+x]_q^n$을 사용하여 수정된 $q$-Euler 수를 $q$-정수의 무한 교대 합으로 표현한다.
• $\zeta_q(s,x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{[k+x]_q^s}$로 구성된 $q$-zeta 함수를 정의하며, 이는 $s = -n$일 때 $\mathcal{E}_{n,q}(x)$를 보간한다.
• 홀수 $d$에 대해 함수 방정식 $\mathcal{E}_{n,q}(x) = [d]_q^n \frac{[2]_q}{[2]_{q^d}} \sum_{a=0}^{d-1} (-1)^a \mathcal{E}_{n,q^d}\left(\frac{x+a}{d}\right)$를 유도하여 수를 스케일링을 통해 일반화한다.
• 홀수 판정자 $d$를 가진 Dirichlet 문자 $\chi$를 사용하여 일반화된 $q$-Euler 수 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$의 프레임워크를 확장하며, $\mathcal{E}_{n,\chi,q} = [2]_q \sum_{n=1}^\infty \chi(n)(-1)^n [n]_q^n$으로 정의한다.
• $L$-함수 $l_q(s,\chi) = [2]_q \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)(-1)^n}{[n]_q^s}$를 정의하며, 이는 $l_q(-n,\chi) = \mathcal{E}_{n,\chi,q}$를 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 고전적 Euler 수를 일반화하고 $q=1$일 때 유한하게 유지하는 새로운 종류의 $q$-Euler 수 $\mathcal{E}_{n,q}$를 정의할 수 있는가?
• RQ2 $\mathcal{E}_{n,q}$의 $p$-진 적분 표현은 무엇이며, 이는 불변 $q$-측도 $\mu_{-q}$와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 음의 정수에서 $\mathcal{E}_{n,q}(x)$를 보간할 수 있는 $q$-zeta 함수를 구성할 수 있으며, 그 기능적 형태는 무엇인가?
• RQ4 Dirichlet 문자 $\chi$와 관련된 일반화된 $q$-Euler 수 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$는 어떻게 행동하며, 그 급수 표현은 무엇인가?
• RQ5 $L$-함수 $l_q(s,\chi)$와 일반화된 $q$-Euler 수 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$ 사이의 관계는 무엇이며, 이는 고전적 보간 성질을 어떻게 확장하는가?

주요 결과

• 수정된 $q$-Euler 수 $\mathcal{E}_{n,q}$는 $\mathcal{E}_{0,q} = \frac{[2]_q}{2}$ 및 $n=0$일 때 $(q\mathcal{E} + 1)^n + \mathcal{E}_{n,q} = [2]_q$로 정의되며, 나머지 경우 0이다. 또한 $\lim_{q \to 1} \mathcal{E}_{n,q} = E_n$이다.
• $\mathcal{E}_{n,q}(x)$의 생성함수는 $F_q(t,x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty (-1)^k e^{[k+x]_q t}$이며, 이로부터 명시적 공식 $\mathcal{E}_{n,q}(x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty (-1)^k [k+x]_q^n$을 도출할 수 있다.
• $q$-zeta 함수 $\zeta_q(s,x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{[k+x]_q^s}$는 $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$일 때 $\zeta_q(-n,x) = \mathcal{E}_{n,q}(x)$를 만족하며, 음의 정수에서의 보간을 제공한다.
• 홀수 $d$에 대해 함수 방정식 $\mathcal{E}_{n,q}(x) = [d]_q^n \frac{[2]_q}{[2]_{q^d}} \sum_{a=0}^{d-1} (-1)^a \mathcal{E}_{n,q^d}\left(\frac{x+a}{d}\right)$가 성립하며, 이는 수를 스케일링을 통해 일반화한다.
• 일반화된 $q$-Euler 수 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$는 $\mathcal{E}_{n,\chi,q} = [2]_q \sum_{n=1}^\infty \chi(n)(-1)^n [n]_q^n$으로 주어지며, Dirichlet 문자로의 프레임워크 확장을 제공한다.
• $L$-함수 $l_q(s,\chi) = [2]_q \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)(-1)^n}{[n]_q^s}$는 $l_q(-n,\chi) = \mathcal{E}_{n,\chi,q}$를 만족하며, 고전적 보간 성질에 대한 $q$-해석을 확립한다.