[논문 리뷰] A note on the real part of the Riemann zeta-function

Juan Arias de Reyna, Richard P. Brent외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 21.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 실수 $t$에 대해 $σ + it$에서 $ξ(\sigma + it)$의 실부가 0 또는 음수가 될 수 있는 $σ$의 상한인 임계 상수 $σ_0 \approx 1.19$를 효율적으로 계산하는 알고리즘을 제시한다. 소수 제타 함수와 역삼각함수 급수를 통한 급수 가속 기법을 사용하여 $σ_0$를 고정밀도로 계산하였으며, $σ = 1$ 선상에서 $σξ(1+it) \leq 0$인 첫 50개의 간격을 식별하였다. 첫 간격은 $t \approx 682112.9169$에서 발생하며 길이가 약 $0.0529$이다. 첫 50개 간격의 길이 합은 밀도 $d(1) \approx 3.85 \times 10^{-7}$를 추정한다.

ABSTRACT

We consider the real part $\Re(ζ(s))$ of the Riemann zeta-function $ζ(s)$ in the half-plane $\Re(s) \ge 1$. We show how to compute accurately the constant $σ_0 = 1.19\ldots$ which is defined to be the supremum of $σ$ such that $\Re(ζ(σ+it))$ can be negative (or zero) for some real $t$. We also consider intervals where $\Re(ζ(1+it)) \le 0$ and show that they are rare. The first occurs for $t$ approximately 682112.9, and has length about 0.05. We list the first fifty such intervals.

연구 동기 및 목표

• 고정밀도로 $σ_0 = \sup\{\sigma \in \mathbb{R} \mid \exists t \in \mathbb{R}, \mathrm{Re\,}\zeta(\sigma + it) = 0\}$를 계산하는 것.
• 수렴이 느린 급수 $σ(\sigma) = \sum_p \arcsin(p^{-\sigma}) - \pi/2$를 변환하여 빠르게 수렴하는 이중 급수로 변환함으로써, $f(\sigma)$를 효율적으로 평가하는 알고리즘을 개발하는 것.
• $\u03c3 = 1$ 선상에서 $σξ(1+it) \leq 0$인 첫 50개의 간격을 식별하고, 그 위치와 길이를 표기하는 것.
• $\u03c3 = 1$ 선상에서 $σξ(1+it) \leq 0$인 실수 $t > 0$의 집합의 자연밀도 $d(1)$을 첫 50개 간격의 길이 합을 사용하여 추정하는 것.

제안 방법

• 오일러의 곱과 모비우스 역전환을 사용하여 $σ > 1$에서 빠르게 수렴하는 $P(\sigma) = \sum_p p^{-\sigma}$를 $P(\sigma) = \sum_{r=1}^\infty \frac{\mu(r)}{r} \log \zeta(r\sigma)$로 계산하는 것.
• $f(\sigma) = \sum_p \arcsin(p^{-\sigma}) - \pi/2$를 이중 급수 형태인 $f(\sigma) = \sum_{k=0}^\infty c_k P((2k+1)\sigma) - \pi/2$로 표현하여 수렴 속도를 향상시키는 것. 여기서 $c_k = \frac{(2k)!}{(2^k k!)^2 (2k+1)}$이다.
• $c_k \leq \frac{1}{2(2k+1)}$ 부등식을 적용하여 尾급수 오차를 제어하고 $k$에 대한 급수의 절단점을 엄밀하게 결정하는 것.
• $f(\sigma) = \sum_{j=1}^\infty d_j \log \zeta(j\sigma) - \pi/2$의 항등식을 사용하여, 사전에 계산된 $\log \zeta(j\sigma)$ 값을 활용해 효율적으로 평가하는 것. 여기서 $d_j = \sum_{k \geq 0, r > 0, (2k+1)r = j} \frac{c_k \mu(r)}{r}$이다.
• $f(\sigma)$의 부호가 바뀌는 간격(예: $[1.1, 1.2]$)에서 루트를 찾기 위해 0-찾기 알고리즘(예: 이분법 또는 secant 방법)을 적용하고 오차 한계를 보장하는 것.
• $\mathrm{Re} \frac{\zeta'(1+it)}{\zeta(1+it)}$의 상한 $σ \leq \frac{3}{4} \log(t^2 + 4) + 7$ ($t \geq 10$)과 최대 기울기 원리를 적용하여 $σξ(1+it) \leq 0$가 되는 첫 번째 $t$를 엄밀하게 식별하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 $t$에 대해 $σξ(\sigma + it)$의 실부가 0 또는 음수가 될 수 있는 $σ$의 상한 $σ_0$의 정확한 값은 무엇인가요?
• RQ2 수렴이 느린 급수 $\sum_p \arcsin(p^{-\sigma})$는 어떻게 변형하여 수치적 평가에 적합한 빠르게 수렴하는 형태로 만들 수 있나요?
• RQ3 $\u03c3 = 1$ 선상에서 $σξ(1+it) \leq 0$인 첫 50개 간격의 위치와 길이는 각각 무엇인가요?
• RQ4 $\{t > 0 \mid \mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0\}$의 자연밀도 $d(1)$의 추정치는 무엇인가요?
• RQ5 실수 $t \approx 682112.9169$에서 $σξ(1+it)$의 첫 번째 제로 크로싱이 전역 최소값인지, 그리고 그 최소값은 얼마인가요?

주요 결과

• $\sigma_0$는 급수 변환과 0-찾기 알고리즘을 사용하여 고정밀도로 계산되었으며, $\sigma_0 \approx 1.19$이다.
• $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$인 첫 번째 간격은 $t \approx 682112.9169$에서 발생하며 길이가 약 $0.05291225$이다.
• $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$가 되는 첫 번째 $t$는 $t \approx 682112.8913$이며, 국소 최솟값은 $-0.0027652$이다.
• $\mathrm{Re\,}\zeta(1+it) \leq 0$인 첫 50개 간격의 길이 합은 $6.48390168$이며, 이로부터 $d(1) \approx 3.85 \times 10^{-7}$로 추정된다.
• 몬테카를로 추정치는 $d(1)$이 $3.80 \times 10^{-7}$로 나타나 간격 길이 합과 강한 일치를 보였다.
• 표 1에 첫 50개의 음의 국소 최솟값이 나열되어 있으며, 값은 $-0.0826$에서 $-0.0008$ 사이이며, 간격 길이는 $0.0305$에서 $0.2840$ 사이이다.