[논문 리뷰] A note on the relation between a singular linear discrete time system and a singular linear system of fractional nabla difference equations

Charalambos P. Kontzalis, Grigoris I. Kalogeropoulos|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 07.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 행렬판 이론을 활용하여 단일 선형 이산 시간 시스템과 단일 선형 분수 후행 차분 방정식 시스템 간의 수학적 다리를 구축한다. 정규 간격으로 연속 시간 단일 시스템을 샘플링하고 0차 보존 근사법을 적용함으로써, 저자들은 연속 해와 분수 후행 차분 시스템을 연결하는 이산 시간 상태 방정식을 유도하며, 정규 행렬판 조건 하에서 해의 존재성과 유일성을 증명한다.

ABSTRACT

In this article we focus our attention on the relation between a singular linear discrete time system and a singular linear system of fractional nabla difference equations whose coefficients are square constant matrices. By using matrix pencil theory, first we give necessary and sufficient condition to obtain a unique solution for the continuous time model. After by assuming that the input vector changes only at equally space sampling instants, we shall derive the corresponding discrete time state equation which yield the values of the solutions of the continuous time model which will connect the initial system to the singular linear system of fractional nabla difference equations.

연구 동기 및 목표

• 단일 선형 이산 시간 시스템과 단일 분수 후행 차분 방정식 간의 엄밀한 수학적 관계 수립.
• 특수 계수 행렬을 가진 행렬 미분 방정식으로 기술되는 연속 시간 단일 시스템 분석.
• 샘플링과 0차 보존 근사법을 통해 연속 모델에서 이산 시간 상태 방정식 유도.
• 행렬판 이론과 Weierstrass 표준형을 이용한 해의 존재성 및 유일성 보장.
• 이산 샘플링 및 근사 기법을 통해 연속 시스템의 해를 분수 후행 차분 시스템에 연결.

제안 방법

• 행렬판 이론을 활용해 행렬판 $ sF - G $ 의 정규성 분석하고, 유한 및 무한 기본 인수로 분해.
• 복소 Weierstrass 표준형을 적용해 시스템을 유한 및 무한 고유값에 해당하는 분리된 조르당 블록과 영항 블록으로 분해.
• 유한 고유값에 대해 $ F(t,s) = Q_p e^{J_p(t-s)} $ 인 전이 행렬을 사용해 연속 시스템의 기본 해 행렬 $ F(t,s) $ 유도; 무한 고유값에 대해서는 $ Q_q $ 사용.
• 0차 보존 샘플링을 구현해 입력 $ V(t) $ 를 구간 $ [kT, (k+1)T) $ 에서 조각별로 일정한 값으로 모델링하여 이산 시간 근사 가능하게 함.
• 연속 해를 이산 시간 상태 방정식 $ Y_{k+1} = F(T,0)Y_k + U_k $ 로 변환하며, $ U_k $ 는 적분 및 도함수 유사 항을 포함.
• 입력의 고차 도함수에 대해 유한 차분 근사를 적용해 $ V^{(i)}(t) $ 를 $ V_{k-i+j} $ 를 포함하는 이산 합으로 치환함으로써 이산 구현 가능하게 함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수 계수 행렬을 가진 단일 선형 연속 시간 시스템이 고유 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 연속 시간 단일 시스템을 어떻게 샘플링하여 해의 구조를 유지하고 분수 후행 차분 시스템과 연결할 수 있는가?
• RQ3 연속 시간 단일 시스템의 해와 단일 분수 후행 차분 방정식 간의 정확한 수학적 관계는 무엇인가?
• RQ4 행렬판 $ sF - G $ 의 유한 및 무한 고유값이 이산 시간 시스템의 구조 및 해법 가능성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 연속 시스템의 샘플링된 값을 정확히 표현하면서 분수 차수 동역학을 유지하는 이산 시간 상태 방정식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 행렬판 $ sF - G $ 가 정규일 때에만 연속 시간 단일 시스템에 고유 해가 존재하며, 이는 Weierstrass 표준형에 의해 확인된다.
• 연속 시스템의 해는 유한 고유값(지수적으로 감쇠 또는 증가하는 성분)과 무한 고유값(다항식 유사 성분)으로 분해되며, 이는 영항 행렬에 의해 지배된다.
• 이산 시간 상태 방정식 $ Y_{k+1} = F(T,0)Y_k + U_k $ 는 간격 $ T $ 에서 연속 해를 샘플링하여 도출되며, $ U_k $ 는 적분 및 도함수 유사 항을 포함한다.
• 입력 도함수 항 $ V^{(i)}(t) $ 는 유한 차분 근사를 통해 $ V_{k-i+j} $ 를 포함하는 표현으로 대체되어 이산 구현이 가능해진다.
• 결과로 도출된 이산 시스템은 연속 해와 분수 후행 차분 방정식을 연결하며, 이산 상태 진동은 전이 행렬 $ F(T,0) $ 와 $ H_q $ 와 입력 도함수를 포함하는 보정 항에 의해 지배된다.
• 유도 과정은 이산 시스템이 연속 시스템의 샘플링된 동역학을 정확히 캡처하며, 분수 성질이 해의 구조와 도함수 근사 방식을 통해 나타남을 확인한다.