[논문 리뷰] A novel formulation of the PBH mass function

Teruaki Suyama, Shuichiro Yokoyama|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 10.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 43인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 기존의 미분 형식에 대한 오랫동안 지속된 모순을 해결하기 위해 표준 PBH 형성 조건에 추가적인 물리적 조건을 도입함으로써 원시 블랙홀(PBH) 질량 함수의 개념적으로 엄밀한 신규 형식을 제안한다. 이 방법을 통해 1차원에서의 가우시안 원시 변동에 대한 기능적 적분을 통해 PBH 질량 함수를 형식적으로 명확하게 계산할 수 있으며, 오차 함수를 포함한 닫힌 해석적 표현식을 도출한다.

ABSTRACT

Computations of the primordial black hole (PBH) mass function discussed in the literature have conceptual issues. They stem from that the mass function is a differential quantity and the standard criterion of the PBH formation from the seed primordial fluctuations cannot be directly applied to the computation of the differential quantities. We propose a new criterion of the PBH formation which is an addition of one extra condition to the existing one. By doing this, we derive a formal expression of the PBH mass function without introducing any ambiguous interpretations which exist in the previous studies. Once the underlying primordial fluctuations are specified, the PBH mass function can be in principle determined by the new formula. As a demonstration of our formulation, we compute the PBH mass function analytically for the case where the perturbations are Gaussian and the space is one dimension.

연구 동기 및 목표

• 기존 PBH 질량 함수 형식에서 발생하는 개념적 모순을 해결하기 위해, 차별형 양(질량 함수)을 다루는 데 적합하지 않은 기준을 사용하는 문제를 해결한다.
• 임의의 해석 없이 자연스럽게 질량 함수로 이어지는 물리적으로 타당하고 수학적으로 일관된 PBH 형성 기준을 개발한다.
• 모든 기초 파wer 스펙트럼에 대해 유효한 원시 밀도 변동에 대한 기능적 적분으로서 PBH 질량 함수의 형식적 표현을 제공한다.
• 1차원 가우시안 분포의 원시 편미분에 적용하여 이 형식의 실현 가능성을 분석적으로 입증한다.

제안 방법

• 밀도 대비의 표준 임계 조건에 지역 곡률 또는 컴팩션 함수에 대한 제약 조건을 추가하여 새로운 PBH 형성 기준을 도입한다.
• 형성 임계 조건을 정의하기 위해 컴팩션 함수 $\mathcal{C}(r)$ 를 핵심 변수로 사용함으로써 게이지 불변성과 척도 불변성을 확보한다.
• PBH 질량 함수를 원시 장 $\theta$ 에 대한 기능적 적분으로 표현하며, Eq. (18)을 통해 공동 확률 밀도 $P[\theta]$ 에 의해 가중한다.
• 1차원 가우시안 장에 이 방법을 적용하기 위해 장의 특성 함수와 그 도함수를 계산하여 다변량 가우시안 적분을 유도한다.
• 가우시안 적분의 성질과 보완 오차 함수를 이용해 결과 기능적 적분을 해석적으로 평가하여 Eq. (32)를 도출한다.
• 최종적으로 질량 함수의 표현식을 장 도함수의 공분산의 역행렬과 임계값 $\theta_{\rm th}$ 를 포함한 형태로 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피크 이론이나 Press-Schechter 형식에 기반한 이전 접근 방식에서 발생하는 개념적 모순을 피한 채 PBH 질량 함수를 어떻게 형식화할 수 있는가?
• RQ2 질량 함수와 같은 차별형 양을 계산할 때, 기존 PBH 형성 기준에 추가로 어떤 물리적 조건을 도입해야 일관성이 확보되는가?
• RQ3 기능적 적분을 통해 원시 변동에 대해 처음부터 명확한 표현식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 이 새로운 형식을 1차원 가우시안 원시 파워 스펙트럼에 적용했을 때 도출되는 분석 결과는 무엇인가?
• RQ5 이 새로운 기준은 스핀 분포나 두 점 상관 함수와 같은 다른 PBH 통계적 성질을 계산하는 데 확장 가능한가?

주요 결과

• 제안된 형식은 형성 기준에 물리적으로 타당한 추가 조건을 도입함으로써 이전의 PBH 질량 함수 계산에서 발생하는 개념적 모순을 제거한다.
• PBH 질량 함수는 기능적 적분(Eq. 18)으로 표현되며, 이는 기초가 되는 원시 변동 통계에만 의존하므로 형식적으로 명확하다.
• 1차원 가우시안 원시 변동에 대해 질량 함수는 해석적으로 계산되며, 보완 오차 함수와 행렬의 불변량을 포함한 형태로 표현된다(Eq. 32).
• 결과는 질량 함수가 도함수의 두 번째 및 세 번째 모멘트에 의해 결정되며, 이는 행렬 $M_{ij}$ 와 $B_{ij}$ 에 포함되어 있고, 임계값 $\theta_{\rm th}$ 에도 의존한다.
• 이 형식은 다른 통계적 양으로 일반화 가능하다: 델타 함수 제약 조건과 임계 조건을 수정함으로써 스핀 분포와 두 점 상관 함수를 유도할 수 있다.
• 이 방법은 특히 이전 방법이 실패하는 넓은 파워 스펙트럼의 경우, 원시 파워 스펙트럼과 인플레이션 모델에 대한 강력한 제약 조건을 수립하는 데 기초를 제공한다.