[논문 리뷰] A partial order on Motzkin paths

Wenjie Fang|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 15.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 타마리 격자에 영감을 받아 모츠킨 경로에 대한 부분 순서를 도입하며, 전체 부분순서 집합이 격자가 아니라는 점을 보여주되, 각 연결 성분은 고전적 타마리 격자의 구간과 동형임을 밝힌다. 저자들은 캐탈리틱 변수 접근법을 사용하여, 대각선 단계와 접촉 수를 가중치로 하는 부분순서 집합 내의 구간에 대한 대수적 생성함수를 유도하고, 이를 쇠르더 경로로 확장한다.

ABSTRACT

The Tamari lattice, defined on Catalan objects such as binary trees and Dyck paths, is a well-studied poset in combinatorics. It is thus natural to try to extend it to other families of lattice paths. In this article, we fathom such a possibility by defining and studying an analogy of the Tamari lattice on Motzkin paths. While our generalization is not a lattice, each of its connected components is isomorphic to an interval in the classical Tamari lattice. With this structural result, we proceed to the enumeration of components and intervals in the poset of Motzkin paths we defined. We also extend the structural and enumerative results to Schröder paths. We conclude by a discussion on the relation between our work and that of Baril and Pallo (2014).

연구 동기 및 목표

• 다이크 경로에서 모츠킨 경로로 타마리 격자 구조를 확장하기 위해, 더 넓은 종류의 격자 경로를 고려한다.
• 밸리 변환을 통한 타마리 유도 커버링 관계로 정의된 모츠킨 경로의 부분순서 집합의 구조를 조사한다.
• 이 부분순서 집합의 연결 성분과 구간을 수량화하고, 이를 쇠르더 경로로 확장한다.
• 이 구조가 이전 연구, 특히 바릴과 팔로의 모츠킨 단어에 대한 부분순서 집합과의 관계를 명확히 한다.
• 일반화된 타마리 격자에 대한 함의를 탐색하고, m-볼로트 경로로의 확장을 고려한다.

제안 방법

• 밸리(동쪽 단계 다음에 북쪽 또는 대각선 단계가 오는 경우)를 식별하고, 해당 밸리 부분경로를 이전의 동쪽 단계와 바꾸는 국소적 변환을 적용하여 모츠킨 경로에 커버링 관계를 정의한다.
• 칼란의 모츠킨 경로와 특정 종류의 다이크 경로 사이의 이분기법을 사용하여 순서 구조를 전달하고, 각 연결 성분이 고전적 타마리 격자의 구간과 동형임을 증명한다.
• Callan의 이분기법을 활용하여, [BMJ06]의 기법을 따르며, 캐탈리틱 변수 하나를 포함한 함수 방정식을 사용하여 모츠킨 경로 부분순서 집합 내의 구간 생성함수를 도출한다.
• 대각선 단계 길이가 2인 경우를 고려하여 동일한 방법을 쇠르더 경로에 적용한다.
• 대수적 변환과 대입을 통해 생성함수 $ G(t,u) $ 를 삼차방정식의 근 $ X' $ 로 표현한다.
• 구조적 및 수량적 분석을 통해 모츠킨 경로의 부분순서 집합과 일반화된 타마리 격자 간의 동형을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타마리 격자 구조는 다이크 경로의 일반화인 모츠킨 경로로 자연스럽게 확장될 수 있는가?
• RQ2 타마리 유사 커버링 관계로 정의된 모츠킨 경로의 부분순서 집합의 전반적 구조는 어떠한가?
• RQ3 이 부분순서 집합의 연결 성분은 고전적 타마리 격자의 어떤 구간과 관련이 있는가?
• RQ4 대각선 단계와 접촉 수를 가중치로 하는 이 부분순서 집합 내의 구간 수의 생성함수는 무엇인가?
• RQ5 모츠킨 경로에 대한 결과는 더 긴 대각선 단계를 允許하는 쇠르더 경로로 어떻게 확장되는가?

주요 결과

• 정의된 커버링 관계에 따라 모츠킨 경로의 부분순서 집합은 격자가 아니지만 연결 성분으로 분해된다.
• 이 부분순서 집합의 각 연결 성분은 고전적 타마리 격자의 구간과 동형이며, 깊은 구조적 연결을 확립한다.
• 대각선 단계 수와 접촉 수를 가중치로 하는 모츠킨 경로 부분순서 집합 내의 구간 생성함수 $ G(t,u) $ 는 대수적이며 캐탈리틱 변수를 포함한 함수 방정식을 만족한다.
• 생성함수는 삼차방정식 $ tX'^3 + 2ut^2X'^2 + X' - 1 = 0 $ 의 근 $ X' $ 로 표현되며, $ X' $ 에 대한 유리식 형태로 기술된다.
• 모츠킨 경로에 대한 결과는 쇠르더 경로로 확장되며, 생성함수 $ G(t,u) $ 는 $ G(t^2,u) = F_1(t,ut) $ 를 만족하고, $ G(t,1) $ 의 처음 몇 계수를 계산한다.
• 논문은 바릴과 팔로의 연구와의 차이점이 이분기법의 차이로 인해 발생하며, 이는 바이너리 트리와 다이크 경로 사이의 서로 다른 매핑으로 인해 타마리 격자 내에 다른 임bedding을 초래함을 명확히 한다.