[논문 리뷰] A Pasting Lemma I: the case of vector fields

Alexander Arbietoand, Carlos Matheus|ArXiv.org|2003. 10. 14.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 컴acts한 다양체 위의 $C^1$-보존 벡터장에 대한 $C^1$-붙임새 레미마를 수립하며, 국소적 변형을 가능하게 하면서도 전체적으로 체적과 $C^1$-근접성을 유지한다. 주요 기여는 $C^\infty$ 보존 벡터장이 $C^1$ 보존 벡터장 클래스 내에서 $C^1$-밀도임을 증명하는 것이며, 3차원 다양체에서 강력하게 전이적인 보존 흐름은 반드시 아노소프이어야 하며 기하학적으로 로렌츠 유사 집합이 존재할 수 없음을 규명한다.

ABSTRACT

We prove a perturbation (pasting) lemma for conservative (and symplectic) systems. This allows us to prove that $C^{\infty}$ volume preserving vector fields are $C^1$-dense in $C^{1}$ volume preserving vector fields (After the conclusion of this work, Ali Tahzibi pointed out to us that this result was proved in 1979 by Carlos Zuppa, although his proof is different from ours.). Moreover, we obtain that $C^1$ robustly transitive conservative flows in three-dimensional manifolds are Anosov and we conclude that there are no geometrical Lorenz-like sets for conservative flows. Also, by-product of the version of our pasting lemma for conservative diffeomorphisms, we show that $C^1$-robustly transitive conservative $C^2$-diffeomorphisms admits a dominated splitting, thus solving a question posed by Bonatti-Diaz-Pujals. In particular, stably ergodic diffeomorphisms admits a dominated splitting.

연구 동기 및 목표

• 위상 공간의 컴팩트 부분집합에서 $C^2$ 보존 동역계 시스템을 위한 강력한 변형(붙임새) 레미마를 개발하는 것.
• $C^1$ 보존 벡터장 클래스 내에서 $C^\infty$ 체적 보존 벡터장의 $C^1$-밀도를 확립하는 것.
• 3차원 다양체에서 강력하게 전이적인 보존 흐름이 반드시 아노소프여야 하며, 기하학적으로 로렌츠 유사 구조가 존재하지 않음을 증명하는 것.
• $C^1$-강력하게 전이적인 $C^2$ 보존 미분형사가 도미네이티드 분해를 가짐을 보여주며, 본아티-다이아즈-푸할스의 질문을 해결하는 것.
• 붙임새 레미마를 보존 미분형사로 확장하고 안정적으로 에르고딕인 시스템에 대한 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• D카로가나-모저 정리들을 활용하여 $C^{k+\alpha}$ 정규성 조건을 만족하는 미분형사에 대한 발산 방정식과 야코비안 방정식의 해법 가능성을 다룸.
• 컴팩트 집합 $K$ 위에서 $C^{1+\alpha}$ 벡터장 $Y$ 를 $C^1$ 벡터장 $X$ 에 붙임으로써, $C^1$-근접하고 전역적으로 정의된 체적 보존 벡터장을 구성함. 이때 $C^\infty$ 분할 단위를 사용함.
• 다양체의 커버링에 대해 $K$ 의 근방 $V$ 와 약간 더 작은 근방의 여집합을 사용하는 분할 단위를 구성함으로써 매끄러운 전이를 보장함.
• 붙임새 레미마를 적용하여 국소적으로 흐름을 변형하면서도 체적과 $C^1$-근접성을 유지함. 이는 발산이 0인 벡터장이 발산 방정식의 해를 통해 수정 가능하다는 사실을 응용함.
• 반증을 통해 붙임새 구성법을 활용하여, 3차원 보존 흐름에서 강력한 전이성은 동역학적 호모클리닉 궤도의 논의를 통해 반드시 아노소프일 수밖에 없음을 보임.
• 붙임새 레미마를 적용하여 $C^1$-강력하게 전이적인 $C^2$ 보존 미분형사가 도미네이티드 분해를 가짐을 보이며, 잔여집합과 호모클리닉 집합의 연속성에 기반함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $C^\infty$ 체적 보존 벡터장은 $C^1$ 체적 보존 벡터장에 의해 $C^1$-근접적으로 근사될 수 있는가?
• RQ2 3차원 다양체에서 강력하게 전이적인 보존 흐름은 반드시 아노소프인가?
• RQ3 기하학적으로 로렌츠 유사 집합은 3차원 보존 흐름에서 존재하는가?
• RQ4 $C^1$-강력하게 전이적인 보존 $C^2$-미분형사는 도미네이티드 분해를 가짐이 증명되는가?
• RQ5 체적과 $C^1$-근접성을 전역적으로 유지하는 보존 시스템을 위한 붙임새 레미마를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• $C^1$-붙임새 레미마는 임의의 $C^1$ 체적 보존 벡터장이 $C^\infty$ 체적 보존 벡터장에 의해 $C^1$-근접적으로 근사될 수 있음을 보장한다.
• 3차원 다양체에서 강력하게 전이적인 보존 흐름은 반드시 아노소프여야 하며, 이는 비특이 초구형 또는 로렌츠 유사 역학이 존재하지 않음을 의미한다.
• 기하학적으로 로렌츠 유사 집합은 3차원 보존 흐름에서 존재하지 않으며, 이러한 집합은 평형점이 필요하기 때문이다. 그러나 강력하게 전이적인 보존 시스템에서는 평형점이 제거되므로 존재할 수 없다.
• $C^1$-강력하게 전이적인 $C^2$ 보존 미분형사는 도미네이티드 분해를 가짐을 보여주며, 본아티-다이아즈-푸할스의 추측을 확인한다.
• 안정적으로 에르고딕인 미분형사는 붙임새 레미마를 보존 미분형사의 경우에 적용한 결과로 도미네이티드 분해를 가짐을 보여준다.
• 붙임새 레미마 구성은 체적과 $C^1$-근접성을 유지하며, 변형이 $C^\infty$ 이면 결과로 얻어진 장은 $C^\infty$ 가 된다.