[논문 리뷰] A Path Integral Approach to Derivative Security Pricing: I. Formalism and Analytical Results

M. Rosa-Clot, Stefano Taddei|RePEc: Research Papers in Economics|1999. 01. 26.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 상태에 따라 변화하는 비율과 변동성을 갖는 1차원 및 다차원 설정에서 유연한 금융 파생상품 가격 결정을 위한 경로 적분 형식을 제안하며, 확률적 미분 방정식(SDE) 및 편미분 방정식(PDE)과의 등가성을 확립한다. 공변 형식을 사용하여 일반적인 좌표 변환을 가능하게 하여 연속 시간 금융에서 파생상품 가격 결정을 위한 새로운 계산 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We use a path integral approach for solving the stochastic equations underlying the financial markets, and we show the equivalence between the path integral and the usual SDE and PDE methods. We analyze both the one-dimensional and the multi-dimensional cases, with point dependent drift and volatility, and describe a covariant formulation which allows general changes of variables. Finally we apply the method to some economic models with analytical solutions. In particular, we evaluate the expectation value of functionals which correspond to quantities of financial interest.

연구 동기 및 목표

• 금융 시장에서 파생상품 가격 결정을 위한 경로 적분 프레임워크를 개발하는 것.
• 1차원 및 다차원 모델에서 경로 적분, SDE, PDE 접근법 간의 등가성을 입증하는 것.
• 스토케스틱 모델에서 일반적인 변수 변환을 가능하게 하는 공변 형식을 도입하는 것.
• 경로 적분 방법을 사용하여 금융 모델의 해석적 해를 유도하는 것.
• 경로 적분 기법을 통해 금융 함수형의 기대값을 평가하는 것.

제안 방법

• 자산 가격의 확률적 과정을 Fokker-Planck 방정식을 기초로 형식화하는 것.
• Feynman-Kac 공식을 통해 Fokker-Planck 방정식을 경로 적분 표현으로 변환하는 것.
• 경로 적분 형식을 1차원 및 다차원 확산 과정에 적용하는 것.
• 상태 공간에서 일반적인 좌표 변환을 다룰 수 있는 공변 형식을 도입하는 것.
• 경로 적분을 사용하여 금융 모델에서 수익 지급 함수형의 기대값을 계산하는 것.
• 기하 브라운 motion과 같은 표준 모델에서 알려진 해석적 해와의 일致를 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로 적분 형식은 금융 시장의 파생상품 가격 결정에 체계적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 등가성과 계산적 유용성 측면에서 경로 적분 접근법은 전통적인 SDE 및 PDE 방법과 어떻게 비교될 수 있는가?
• RQ3 다차원 모델의 경로 적분 계산을 단순화하는 데 있어 좌표 변환의 역할은 무엇인가?
• RQ4 경로 적분 방법을 사용하여 표준 금융 모델의 해석적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 금융 수익 지급 함수형은 경로 적분 프레임워크 내에서 어떻게 표현되고 평가되는가?

주요 결과

• 경로 적분 형식은 파생상품 가격 결정에서 표준 SDE 및 PDE 접근법과 수학적으로 등가이다.
• 기하 브라운 motion과 같은 모델에 대해 알려진 해석적 해를 성공적으로 재현하였다.
• 공변 형식은 일반적인 변수 변환을 가능하게 하며, 경로 적분의 구조를 유지한다.
• 금융 함수형의 기대값은 경로 통합을 통해 계산되며, 새로운 계산 경로를 제공한다.
• 지점에 따라 변화하는 비율과 변동성을 갖는 다차원 모델에도 이 방법이 적용 가능하다.
• 이 형식은 통계역학 기법과 금융 모델링을 연결하는 통합적 프레임워크를 제공한다.