[논문 리뷰] A pathwise approach to continuous-time trading

Candia Riga|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 1인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 확률적 적분을 대체하는 비예측가능 기능적 미적분을 사용하는 연속시간 거래를 위한 경로에 의존하는 모델 자유 프레임워크를 제안한다. 이는 수익과 헤지 오차를 샘플 경로별로 엄밀하게 정의할 수 있게 하며, 핵심 기여는 경로에 의존하는 자기자금 조절 조건과 고전적 델타 헤징 복제를 일반화한 것으로, 확률적 가정 없이도 임의의 가격 경로에서 헤지 오차를 명시적으로 정량화한다.

ABSTRACT

This paper develops a mathematical framework for the analysis of continuous-time trading strategies which, in contrast to the classical setting of continuous-time mathematical finance, does not rely on stochastic integrals or other probabilistic notions. Our purely analytic framework allows for the derivation of a pathwise self-financial condition for continuous-time trading strategies, which is consistent with the classical definition in case a probability model is introduced. Our first proposition provides us with a pathwise definition of the gain process for a large class of continuous-time, path-dependent, self-finacing trading strategies, including the important class of 'delta-hedging' strategies, and is based on the recently developed 'non-anticipative functional calculus'. Two versions of the statement involve respectively continuous and càdlàg price paths. The second proposition is a pathwise replication result that generalizes the ones obtained in the classical framework of diffusion models. Moreover, it gives an explicit and purely pathwise formula for the hedging error of delta-hedging strategies for path-dependent derivatives across a given set of scenarios. We also provide an economic justification of our main assumption on price paths.

연구 동기 및 목표

• 확률적 적분과 확률 측도에 의존하지 않는 모델 자유 수학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 자기자금 조절 조건을 갖춘 경로에 의존하는 거래 전략(델타 헤징 포함)에 대해 수익 과정을 경로 기반으로 정의하는 것.
• 고전적 복제 결과를 일반화하여, 델타 헤징 전략의 헤지 오차에 대해 순수하게 경로 기반의 명시적 공식을 유도하는 것.
• 시장 효율성과 아웃오브어윈드의 부재에 기반한 경제적 논증을 통해 가격 경로에 대한 핵심 가정을 정당화하는 것.
• 확률 측도가 도입될 경우 경로 기반 분석이 확률적 적분 프레임워크와 일관됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 두피르와 콘트-푸르니에의 비예측가능 기능적 미적분을 사용하여 가격 경로의 기능적 표현에 대한 적분을 정의한다.
• 폭르머의 경로 기반 이토 공식과 노르바이샤의 왼쪽 카우치 λ-적분을 사용하여 수익을 비예측가능 리만 합의 극한으로 정의한다.
• 경로 기반 이차변화량과 점프 보정을 포함한 변화량 공식을 통해 수익 과정을 정의한다.
• 보브크의 상한 가격 개념과 일반 경로를 사용하여 가격 경로의 정규성 조건을 경제적으로 의미 있는 것으로 정당화한다.
• 기대값 없이도 모든 샘플 경로에서 일관된 수익 과정을 요구함으로써 경로 기반 자기자금 조절 조건을 도출한다.
• 밀도 있고, 중첩되며, 완전한 분할 시퀀스에서 경로 기반 이차변화량과 고전적 이차변화량이 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 적분이나 확률 측도에 의존하지 않고 연속시간 거래의 수익을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 전략이 자기자금 조절임을 보장하는 경로 기반 조건은 무엇이며, 고전적 확률적 정의와는 어떻게 관련되는가?
• RQ3 특정 확률 모델에 국한되지 않고 모든 가격 경로에서 유효한 일반적인 델타 헤징의 헤지 오차 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 가격 경로가 유한한 경로 기반 이차변화량을 갖는다는 가정을 뒷받침하는 경제적 또는 시장 기반의 정당성은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크에서의 경로 기반 결과는 확산 기반 모델의 고전적 결과와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 확률 측도가 도입될 경우 고전적 정의와 일치하는 경로 기반 자기자금 조절 조건이 도출되었다.
• 비예측가능 기능적 미적분을 사용하여 델타 헤징을 포함한 다양한 경로에 의존하는 자기자금 조절 전략에 대해 경로 기반 수익 과정을 정의하였다.
• 델타 헤징 전략의 헤지 오차에 대해 실현된 가격 경로와 그 이차변화량에만 의존하는 명시적이고 경로 기반의 공식이 도출되었다.
• 게임 이론적이고 모델 자유인 설정에서의 아웃오브어윈드 부재와 연결하여 경로 기반 이차변화량의 유한성 가정을 정당화하였다.
• 밀도 있고, 중첩되며, 완전한 분할 시퀀스에서 경로 기반 이차변화량은 폭르머와 노르바이샤의 정의와 일치하여 기존의 경로 기반 미적분과의 일관성을 확보하였다.
• 모델 자유이고 경로 기반인 델타 헤징 오차 공식을 제공함으로써 고전적 복제 결과를 일반화하였으며, 이는 연속적이거나 càdlàg 가격 경로에 대해 항상 유효하다.