[논문 리뷰] A polyharmonic Maass form of depth 3/2 for SL_2(Z)

Scott Ahlgren, Nickolas Andersen외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 19.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$에 대해 무게 $1/2$이고 깊이 $3/2$인 다항조화 마스 형식을 구성하며, 이전에 정규화 또는 푸아송 급수를 통해만 알려져 있던 형식을 직접 실현한다. 제안된 확장된 내적을 통해 제곱 인덱스 푸아송 계수를 다루며, 이는 모듈라 함수의 추적과 일반화된 히르츠 위클라스 수 $h^*(d)$와 연결된다.

ABSTRACT

Duke, Imamoglu, and Toth constructed a polyharmonic Maass form of level 4 whose Fourier coefficients encode real quadratic class numbers. A more general construction of such forms was subsequently given by Bruinier, Funke, and Imamoglu. Here we give a direct construction of such a form for the full modular group and study the properties of its coefficients. We give interpretations of the coefficients of the holomorphic parts of each of these polyharmonic Maass forms as inner products of certain weakly holomorphic modular forms and harmonic Maass forms. The coefficients of square index are particularly intractable; in order to address these, we develop various extensions of the usual normalized Peterson inner product using a strategy of Bringmann, Ehlen and Diamantis.

연구 동기 및 목표

• 완전한 모듈라 군 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$에 대해 무게 $1/2$이고 깊이 $3/2$인 다항조화 마스 형식을 구성하여, 수준 구조를 초월한 이러한 형식의 직접 실현을 제공한다.
• 푸아송 급수 구성에서 극을 유발하는 바람에 다항조화 마스 형식의 제곱 인덱스 푸아송 계수를 다룰 수 없는 문제를 해결한다.
• 브링만, 에hlen, 다이아만티스의 전략을 영감으로 삼아 정규화된 내적을 확장하여 약한 헬모르피크 및 조화 마스 형식에 대해 새로운 내적 $\langle \cdot, \cdot \rangle_1$을 정의한다.
• 형식의 해석적 부분 계수를 약한 헬모르피크 모듈라 형식과 조화 마스 형식을 포함하는 내적의 형태로 해석한다.
• 제곱 인덱스 항의 계수와 모듈라 함수의 추적 및 일반화된 히르츠 위클라스 수 $h^*(d)$ 사이의 정확한 공식을 수립한다.

제안 방법

• 상수 함수 $1$에서의 정규화된 스털리프를 통해 $\Gamma_0(4)$에서 무게 $1/2$이고 깊이 $3/2$인 다항조화 마스 형식 $\bm{Z}(\tau)$를 구성하고, 이후 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$로 확장한다.
• 지수 감쇠 $e^{-wy}$를 포함한 적분의 해석적 계속을 통해 $w=0$에서 유효한 새로운 내적 $\langle h_d, F \rangle_1$를 정의한다.
• 다항조화성을 정의하기 위해 연산자 $\xi_k = 2iy^k \overline{\partial / \partial \overline{\tau}}$를 사용하며, $\xi_{1/2} \bm{Z} = -2 \widehat{\bm{Z}}_-$를 통해 기존의 조화 마스 형식과 연결한다.
• 레지우레이터 $R(d)$와 위클라스 수를 이용해 정의된 일반화된 히르츠 함수 $h^*(d)$를 활용하여, $d > 0$ 전역에서 푸아송 계수를 균일하게 표현한다.
• 브링만, 에hlen, 다이아만티스의 전략을 응용하여 제곱 판별식의 경우에 지수적으로 증가하는 항을 다루며, 내적의 확장을 가능하게 한다.
• 다음과 같은 명시적 공식을 유도한다: $\sqrt{24} \langle h_d, F \rangle_1 = -\operatorname{Tr}_d(f) + \chi_{12}(\sqrt{d})\left(\operatorname{Tr}_1(f) - 12 \frac{h^*(d)}{\sqrt{d}} - i\right)$, 이는 제곱 인덱스 계수 문제를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 모듈라 군 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$에 대해 깊이 $3/2$이고 무게 $1/2$인 다항조화 마스 형식을 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 표준 정규화된 내적에 의해 포착되지 않는, 이러한 형식의 제곱 인덱스 푸아송 계수는 어떻게 해석할 수 있는가?
• RQ3 푸아송 계수가 지수적으로 증가하는 경우, 예를 들어 $d$가 완전제곱수일 경우, 정규화된 내적을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 형식의 해석적 부분 계수는 모듈라 함수의 추적과 일반화된 히르츠 위클라스 수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 제곱 인덱스 항의 계수와 $\Gamma_0(6)$에서의 모듈라 함수 $f$ 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$에 대해 무게 $1/2$이고 깊이 $3/2$인 다항조화 마스 형식 $\bm{Z}(\tau)$를 구성하며, $d > 0$에 대해 $h^*(d)/\sqrt{d}$, $d < 0$에 대해 $\beta_{1/2}(4\pi|d|y)q^d$, 그리고 비해석적 항 $\alpha(4n^2y)q^{n^2}$을 포함하는 푸아송 전개를 갖는다.
• 제곱 인덱스 항의 계수는 확장된 내적 $\langle h_d, F \rangle_1$을 통해 해석되며, 이 내적이 $d$가 제곱수일 때조차 존재하고 잘 정의됨을 보여준다.
• 공식 $\sqrt{24} \langle h_d, F \rangle_1 = -\operatorname{Tr}_d(f) + \chi_{12}(\sqrt{d})\left(\operatorname{Tr}_1(f) - 12 \frac{h^*(d)}{\sqrt{d}} - i\right)$는 제곱 인덱스 계수를 완전히 해석한다.
• 정규화된 내적 $\langle h_d, F \rangle_{\operatorname{reg}}$는 $d$가 제곱수가 아닐 때에만 존재하며, 이 경우 $\sqrt{24} \langle h_d, F \rangle_{\operatorname{reg}} = -\operatorname{Tr}_d(f)$이다.
• 확장된 내적 $\langle h_d, F \rangle_1$는 $w=0$으로의 적분 $I(h_d, F; w)$의 해석적 계속을 통해 정의되며, 이는 $d$가 제곱수일 때의 발산 문제를 해결한다.
• 결과적으로 제곱 인덱스 푸아송 모드의 계수와 $\Gamma_0(6)$에서의 모듈라 함수 $f$의 추적 사이에 정확한 연결 고리가 확립되며, 이는 $h^*(d)/\sqrt{d}$와 $i$를 포함한 수정 항을 수반한다.