[논문 리뷰] A Polylogarithimic Approximation Algorithm for Edge-Disjoint Paths with Congestion 2

Julia Chuzhoy, Shi Li|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 06.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 17인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 간선이 분리된 경로 문제에 대해 혼잡도 2를 갖는 경우(EDPwC)에 대해 랜덤화된 다항로그 시간 근사 알고리즘을 제시한다. 표준 다중물류 흐름 리 릿지에 대한 근사값을 둘러싸는 방식으로 $ O(\operatorname{poly}\log k) $-근사값을 달성한다. 주요 기여는 혼잡도 2일 때 EDPwC에 대해 처음으로 다항식 이하의 근사값을 달성한 것으로, 이는 이전의 근사 bound를 크게 향상시키며, 이 리 릿지에 의해 가능한 이론적 극한에 가까워진다.

ABSTRACT

In the Edge-Disjoint Paths with Congestion problem (EDPwC), we are given an undirected n-vertex graph G, a collection M={(s_1,t_1),...,(s_k,t_k)} of demand pairs and an integer c. The goal is to connect the maximum possible number of the demand pairs by paths, so that the maximum edge congestion - the number of paths sharing any edge - is bounded by c. When the maximum allowed congestion is c=1, this is the classical Edge-Disjoint Paths problem (EDP). The best current approximation algorithm for EDP achieves an $O(\sqrt n)$-approximation, by rounding the standard multi-commodity flow relaxation of the problem. This matches the $Ω(\sqrt n)$ lower bound on the integrality gap of this relaxation. We show an $O(poly log k)$-approximation algorithm for EDPwC with congestion c=2, by rounding the same multi-commodity flow relaxation. This gives the best possible congestion for a sub-polynomial approximation of EDPwC via this relaxation. Our results are also close to optimal in terms of the number of pairs routed, since EDPwC is known to be hard to approximate to within a factor of $ ildeΩ((\log n)^{1/(c+1)})$ for any constant congestion c. Prior to our work, the best approximation factor for EDPwC with congestion 2 was $ ilde O(n^{3/7})$, and the best algorithm achieving a polylogarithmic approximation required congestion 14.

연구 동기 및 목표

• 간선 혼잡도가 2 이하로 제한된 Edge-Disjoint Paths with Congestion 2 (EDPwC) 문제에 대해 더 나은 근사 알고리즘을 설계하기 위해.
• 고전적인 Edge-Disjoint Paths (EDP) 문제에서 표준 다중물류 흐름 리 릿지의 $ \Omega(\sqrt{n}) $ 통합 오차 장벽을 극복하기 위해.
• 다중물류 흐름 LP 리 릿지만을 사용하여 혼잡도 2인 EDPwC에 대해 다항식 이하의 근사 요소를 달성하기 위해.
• 낮은 혼잡도에서 EDPwC에 대한 알려진 난이도 결과와 달성 가능한 근사 비율 사이의 격차를 메우기 위해.
• 표준 LP 리 릿지에 의해 가능한 이론적 극한에 가까운 근사값을 EDPwC 혼잡도 2에 대해 거의 최적화된 방식으로 제공하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 혼잡도 2인 EDPwC 문제에 대한 표준 다중물류 흐름 LP 리 릿지의 랜덤화된 둘러싸기 방식을 사용한다.
• 터미널 집합의 스패닝 트리를 기반으로 요구 쌍의 트리 분해를 구축하여 혼잡도를 제한한다.
• 각 터미널에 대해, 소스-싱크 쌍을 연결하면서 간선 혼잡도가 최대 2를 초과하지 않도록 라우팅 트리를 구축한다.
• 트리 소속 관계에 따라 요구 쌍을 부분집합으로 분할하고, 근사 비율을 확보하기 위해 탐욕적 선택 과정을 사용한다.
• 각 간선이 최대 두 개의 경로에서 사용되도록, 공유 간선을 제어되고 구조화된 방식으로 경로를 라우팅함으로써 보장한다.
• 분석은 트리 분해의 구조와 다중물류 흐름 해의 성질을 활용하여 혼잡도와 근사 비율을 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 다중물류 흐름 리 릿지에 기반하여 혼잡도 2인 EDPwC에 대해 다항로그 근사값을 달성할 수 있는가?
• RQ2 LP 리 릿지의 알려진 통합 오차를 고려할 때, 혼잡도 2인 EDPwC에 대해 가능한 최고의 근사 비율은 무엇인가?
• RQ3 이전까지의 최고 결과인 $ \tilde{O}(n^{3/7}) $를 초월하여 근사 비율을 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 낮은 혼잡도를 유지하면서 혼잡도 2인 EDPwC에 대해 다항식 이하의 근사값을 달성할 수 있는가?
• RQ5 고정된 혼잡도 $ c $에 대해 알려진 난이도 하한 $ \tilde{\Omega}((\log n)^{1/(c+1)}) $에 얼마나 가까이 다가설 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 혼잡도 2인 EDPwC에 대해 $ O(\operatorname{poly}\log k) $-근사값을 달성하여 이전의 $ \tilde{O}(n^{3/7}) $-근사값보다 크게 향상시켰다.
• 알고리즘은 최소 $ \Omega(\mathsf{OPT}/\operatorname{poly}\log k) $개의 쌍을 혼잡도 최대 2로 라우팅하며, 여기서 $ \mathsf{OPT} $는 혼잡도 없이 최적의 쌍 수이다.
• 근사 비율 측면에서 거의 최적의 결과를 달성했으며, 혼잡도 2일 때 알려진 난이도 하한 $ \tilde{\Omega}((\log n)^{1/3}) $에 가깝다.
• 조금이라도 혼잡도 2인 EDPwC의 최적 해와 비교해도 다항로그 근사값을 달성한다.
• 이 방법은 혼잡도 2가 다항식 이하의 근사값을 달성하는 데 충분함을 보여주며, 이는 이전까지 알려지지 않은 사실이었다.
• 표준 다중물류 흐름 리 릿지가 혼잡도를 允허할 경우, 조건이 낮은 경우(예: 2)에도 강력한 근사 보장을 제공할 수 있음을 보여준다.