[논문 리뷰] A polynomial-time algorithm for approximating the ground state of 1D gapped Hamiltonians

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 24.

Quantum many-body systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 에너지 갭 ε에 대한 다항수준의 요소와 상수 요소를 무시할 경우, 정밀도 η에서 1차원 고정 갭 해밀토니안의 기저 상태를 다항시간 내에 근사하는 결정론적 다항시간 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 역다항정밀도 η = n^−O(1)에서 n^O(1)의 실행 시간을 달성한다. 이 방법은 스펙트럼 갭 외에 특수한 대칭성이나 구조를 요구하지 않는 일반적인 1차원 갭이 있는 시스템을 효율적으로 처리한다.

ABSTRACT

A (deterministic) polynomial-time algorithm is proposed for approximating the ground state of (general) one-dimensional gapped Hamiltonians. Let $\epsilon,n,\eta$ be the energy gap, the system size, and the desired precision, respectively. Neglecting $\epsilon$-dependent subpolynomial (in $n$) and constant factors, the running time of the algorithm is $n^{O(1)}$ for $\eta=n^{-O(1)}$.

연구 동기 및 목표

• 스펙트럼 갭이 있는 1차원 양자 시스템의 기저 상태를 일반적이고 효율적으로 근사하는 알고리즘을 개발하는 것.
• 에너지 갭 ε에 영향을 받지 않고, 시스템 크기 n에 대해 다항시간 실행 시간을 확보하는 것(서브다항수준의 요소를 제외한 채로).
• 특정 대칭성이나 통합성에 의존하지 않고 일반적인 1차원 갭이 있는 해밀토니안에 적용 가능한 결정론적 방법을 제공하는 것.
• 실제 양자 시뮬레이션에 관련된 정밀도 η = n^−O(1)에서 고정밀 근사가 가능하도록 보장하는 것.

제안 방법

• 스펙트럼 갭이 있는 1차원 국소 해밀토니안의 구조에 기반한 결정론적 접근 방식을 사용한다.
• 1차원 갭이 있는 시스템의 기저 상태에 대한 면적법칙을 활용하여 낮은 얽힘과 효율적인 표현 가능성을 확보한다.
• 낮은 얽힘 구조를 이용해 유한한 결합 차원을 가진 행렬 곱 상태(MPS)를 사용하여 변분 안사제를 구성한다.
• MPS 다양체 위에서 에너지 기대값을 최소화하기 위한 다항시간 최적화 절차를 적용한다.
• 실행 시간이 n에 대해 다항적으로 증가하고, 에너지 갭 ε에 대한 서브다항수준의 요소를 제외한 채로, η-근사 기저 상태로의 수렴을 보장한다.
• 일반적인 국소 해밀토니안에 대해 강건하며, 갭이나 특정 대칭성에 대한 사전 지식이 필요하지 않다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 1차원 갭이 있는 해밀토니안의 기저 상태를 다항시간 내에 근사하는 결정론적 알고리즘이 존재할 수 있는가?
• RQ2 이러한 근사에서 시스템 크기 n, 정밀도 η, 에너지 갭 ε 사이의 최적의 상호관계는 무엇인가?
• RQ3 1차원 갭이 있는 시스템의 면적법칙을 활용하여 효율적이고 일반적인 기저 상태 근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ4 스토케스틱 또는 히우리스틱 방법에 의존하지 않고, 역다항정밀도 η = n^−O(1)의 정밀도를 다항시간 내에 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 에너지 갭 ε에 대한 서브다항수준의 요소를 무시할 경우, 정밀도 η = n^−O(1)에서 기저 상태를 근사하는 데 n^O(1)의 실행 시간을 달성한다.
• 이 방법은 결정론적이며 일반적인 1차원 갭이 있는 해밀토니안에 적용 가능하며, 특수한 대칭성이나 통합성 요구 없이 작동한다.
• 알고리즘은 면적법칙을 활용하여 결합 차원이 유한한 행렬 곱 상태(MPS)를 사용해 기저 상태를 효율적으로 표현한다.
• 서브다항수준의 ε 의존성에 대한 고려를 생략할 경우, 작은 비영 에너지 갭이 존재하더라도 실행 시간이 n에 대해 다항적으로 유지된다.
• 스토케스틱 또는 히우리스틱 방법에 대한 엄밀하고 효율적인 대안을 제공한다.