[논문 리뷰] A Quantum IP Predictor-Corrector Algorithm for Linear Programming.

Pablo A. M. Casares, M. A. Martín-Delgado|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 조밀한 선형 프로그래밍을 위한 양자 내부점 예측-수정 알고리즘을 제안하며, 선형 시스템을 해결하는 데 양자 선형 시스템 알고리즘(QLSA)을 활용하여 변수 수에 대한 양자 속도 향상을 달성한다. 알고리즘은 고전적 해 벡터와 최적 값 출력을 제공하며, 다항로그 요소를 제외한 최악의 복잡도는 $O(L\bar{\rho}\bar{\tau}^2\bar{\nu}^{-2})$이며, 제약 행렬이 조밀할 경우 고전적 방법보다 상당한 향상을 제공한다.

ABSTRACT

We introduce a new quantum optimization algorithm for dense Linear Programming problems, which can be seen as the quantization of the Interior Point Predictor-Corrector algorithm \cite{Predictor-Corrector} using a Quantum Linear System Algorithm \cite{DenseHHL}. The (worst case) work complexity of our method is, up to polylogarithmic factors, $O(L\sqrt{n}(n+m)\overline{||M||_F}\bar{\kappa}^2\epsilon^{-2})$ for $n$ the number of variables in the cost function, $m$ the number of constraints, $\epsilon^{-1}$ the target precision, $L$ the bit length of the input data, $\overline{||M||_F}$ an upper bound to the Frobenius norm of the linear systems of equations that appear, $||M||_F$, and $\bar{\kappa}$ an upper bound to the condition number $\kappa$ of those systems of equations. This represents a quantum speed-up in the number $n$ of variables in the cost function with respect to the comparable classical Interior Point algorithms when the initial matrix of the problem $A$ is dense: if we substitute the quantum part of the algorithm by classical algorithms such as Conjugate Gradient Descent, that would mean the whole algorithm has complexity $O(L\sqrt{n}(n+m)^2\bar{\kappa} \log(\epsilon^{-1}))$, or with exact methods, at least $O(L\sqrt{n}(n+m)^{2.373})$. Also, in contrast with any Quantum Linear System Algorithm, the algorithm described in this article outputs a classical description of the solution vector, and the value of the optimal solution.

연구 동기 및 목표

• 조밀한 선형 프로그래밍을 위한 양자 알고리즘을 개발하여 고전적 내부점 방법보다 속도 향상을 달성한다.
• 양자 선형 시스템 알고리즘(QLSA)을 고전적 예측-수정 프레임워크에 통합하여 선형 프로그래밍을 위한 알고리즘을 구성한다.
• 양자 알고리즘이 양자 상태가 아닌 고전적 해 벡터와 최적 값의 기술을 출력하도록 보장한다.
• 문제 크기, 정밀도, 조건 수를 고려하여 양자 알고리즘의 복잡도를 분석하고 고전적 대안과 비교한다.

제안 방법

• 고전적 내부점 예측-수정 방법을 양자화하여, 고전적 선형 시스템 해법을 양자 선형 시스템 알고리즘(QLSA)으로 대체한다.
• 예측-수정 단계에서 발생하는 선형 시스템을 해결하기 위해 QLSA를 사용하여 뉴턴 시스템을 해결하는 데 양자 속도 향상을 달성한다.
• 오차와 수렴을 제어하기 위해 선형 시스템의 프로베니우스 노름 $||M||_F$와 조건 수 $\/bar{\rho}$를 제한한다.
• 알고리즘이 전체적으로 고전적 해의 기술을 유지하여 출력이 고전적 후처리에 접근 가능하도록 보장한다.
• 입력 비트 길이 $L$, 변수 수 $n$, 제약 수 $m$, 정밀도 $\/bar{\nu}^{-1}$, 조건 수 $\/bar{\rho}$를 기반으로 복잡도를 분석한다.
• 알고리즘은 다항로그 요소를 제외한 작업 복잡도 $O(L\bar{\rho}\bar{\tau}^2\bar{\nu}^{-2})$를 달성하며, 여기서 $\/bar{\rho}$는 프로베니우스 노름의 상한이고 $\/bar{\tau}$는 조건 수의 상한이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 예측-수정 내부점 방법이 조밀한 선형 프로그래밍을 해결하는 데 성공적으로 양자화되어 변수 수에 대한 양자 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ2 예측-수정 프레임워크 내에서 QLSA를 사용하여 조밀한 선형 프로그래밍을 해결하는 데 필요한 양자 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 양자 알고리즘이 양자 상태가 아닌 고전적 해 벡터와 최적 값의 기술을 출력하는가?
• RQ4 변수 수 $n$에 대한 의존성 측면에서, 양자 복잡도가 공액 기울기 내림(descend) 또는 정확한 해법과 같은 고전적 방법과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 프로베니우스 노름과 조건 수의 상한이 양자 알고리즘의 정확성과 효율성 확보에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제안된 양자 알고리즘은 다항로그 요소를 제외한 최악의 작업 복잡도 $O(L\bar{\rho}\bar{\tau}^2\bar{\nu}^{-2})$를 달성하며, 여기서 $\/bar{\rho}$는 선형 시스템의 프로베니우스 노름을 제한하고 $\/bar{\tau}$는 그들의 조건 수를 제한한다.
• 제약 행렬 $A$가 조밀할 경우, 변수 수 $n$에 대한 양자 속도 향상이 고전적 내부점 방법보다 뚜렷하게 확보된다.
• 양자 부분이 고전적 해법(예: 공액 기울기 내림)으로 대체될 경우, 고전적 복잡도는 $O(L\bar{\rho}(n+m)^2\bar{\tau}\bar{\nu}^{-1})$가 되며, 이는 변수 수 $n$에 대한 스케일링에서 상당한 격차를 보인다.
• 알고리즘이 고전적 해 벡터와 최적 해의 값 기술을 출력하여, 일반적인 QLSA 응용에서 양자 상태만 출력하는 것과 비교해 핵심적인 이점이 있다.
• 속도 향상은 특히 $n$에 대한 의존성에서 두드러진다: 양자 방법은 $n$에 대해 $O(\bar{\rho}\bar{\tau}^2)$의 스케일을 보이며, 고전적 방법은 $O((n+m)^2)$ 또는 그 이상의 스케일을 보인다.
• 이 방법은 조밀한 선형 프로그래밍 문제에 적용 가능하며, 이 클래스의 최적화 문제에서 양자 우월성에 이르는 구체적인 길을 제공한다.