[논문 리뷰] "A Posteriori" Limited High Order and Robust Residual Distribution Schemes for Transient Simulations of Fluid Flows in Gas Dynamics

Paola Bacigaluppi, Rémi Abgrall외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 20.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일시적 기체역학 시뮬레이션을 위한 고차수, 비상수 잔여 분포 방법을 제안한다. MOOD를 통해 고통되는 셀을 탐지하고 국소적으로 더 소산성인 방법으로 전환함으로써 매끄러운 영역에서는 고정밀도를 유지하면서 충격파를 가로질러도 안정적이고 진동 없는 행동을 실현한다. 이는 1차원 및 2차원의 구조적 및 비구조적 메esh에서 최적의 순서 정확도와 양수성 보존을 달성한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel approximation strategy for time-dependent hyperbolic systems of conservation laws for the Euler system of gas dynamics that aims to represent the dynamics of strong interacting discontinuities. The goal of our method is to allow an approximation with a high-order of accuracy in smooth regions of the flow, while ensuring robustness and a non-oscillatory behaviour in the regions of steep gradients, in particular across shocks. Following the Multidimensional Optimal Order Detection (MOOD) (Clain et al., Journal of Computational Physics 2011; Diot et al., Computer & Fluids 2012) approach, a candidate solution is computed at a next time level via a high-order accurate explicit scheme (Abgrall, Journal of Scientific Computing 2017; Abgrall et al., Computers & Mathematics with Applications 2018). A so-called detector determines if the candidate solution reveals any spurious oscillations or numerical issue and, if so, only the troubled cells are locally recomputed via a more dissipative scheme. This allows to design a family of "a posteriori" limited, robust and positivity preserving, as well as high accurate, non-oscillatory and effective scheme. Among the detecting criteria of the novel MOOD strategy, two different approaches from literature, based on the work of Clain et al. (Journal of Computational Physics 2011), Diot et al. (Computer & Fluids 2012) and of Vilar (Journal of Computational Physics 2019), are investigated. Numerical examples in 1D and 2D, on structured and unstructured meshes, are proposed to assess the effective order of accuracy for smooth flows, the non-oscillatory behaviour on shocked flows, the robustness and positivity preservation on more extreme flows.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 영역에서는 정확도를 유지하면서도 강력한 불연속성에서의 강건성을 확보하는 고차수, 비상수 잔여 분포 방법을 개발하는 것.
• 비정상 압축성 유동에 대한 초구형 보존법칙에서 정확도와 강건성의 상충 문제를 해결하는 것.
• 강한 충격파와 상호작용하는 불연속성과 같은 극한의 유동 조건에서 밀도와 압력의 양수성 보존과 진동 없는 행동을 보장하는 것.
• 사후 제한 방법을 국소적으로 적용하여 재매핑이 필요한 셀의 수를 최소화함으로써 계산 비용을 최소화하는 것.
• 충격 튜브, 스텝이 있는 마하 3 채널, 더블 매치 반사와 같은 벤치마크 문제에서 방법의 타당성을 검증하는 것.

제안 방법

• 연속 갈레르킨 유한요소 형식에 기반한 고차수 비상수 잔여 분포 방법을 사용하며, 형상 함수로 베르슈타인 다항식을 적용한다.
• 큰 선형 시스템을 풀지 않기 위해, 시간 스텝에 대한 연기 보정 유사 방법을 적용하여 대각 질량 행렬을 이용한 비상수 시간 적분을 가능하게 한다.
• 시간 진전 이후 후보 해에서 수치적 문제를 탐지하기 위해 多차원 최적 순서 탐지(MOOD) 전략을 적용한다.
• 문헌에서 제시된 두 가지 탐지 기준을 사용하여 임의의 진동이나 물리적 제약 위반(예: 양수성 위반)이 있는 셀을 표시한다: 하나는 [15,17]에 기반하고, 다른 하나는 [35]에 기반한다.
• 고정밀도를 유지하기 위해, 고통되는 셀들만 국소적으로 더 소산성인 방법으로 재계산한다.
• 협소한 스타일 및 대각 질량 행렬을 유지함으로써 계산 효율성을 확보하고, 병렬 처리와 낮은 메모리 사용을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 잔여 분포 방법이 매끄러운 흐름에서는 최적의 순서 정확도를 달성하면서도 강한 충격파를 가로질러도 진동이 없는가?
• RQ2 사후 MOOD 제한 방법은 매끄러운 영역의 정확도를 떨어뜨리지 않고 수치적 불안정성을 효과적으로 탐지하고 수정하는가?
• RQ3 다른 탐지 전략(예: [15,17] 대비 [35])은 해 품질과 계산 비용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이중 매치 반사와 같은 극한의 유동 구성 조건에서, 방법이 양수성과 강건성을 얼마나 잘 유지하는가?
• RQ5 일반적으로 얼마나 많은 셀이 고통되는 것으로 표시되며, 이는 전체 계산 오버헤드를 제한하는가?

주요 결과

• 이소엔트로피 와류 벤치마크를 통해 이론적 기대에 부합하는 수렴률을 보이며, 매끄러운 흐름에서 최적의 순서 정확도를 달성한다.
• 이중 매치 반사 및 전방향 스텝 문제에서 충격파 근처의 진동을 효과적으로 억제하여 비진동 해를 생성한다.
• [35]에 기반한 탐지 전략이 [15,17]에 기반한 전략보다 더 높은 해 품질을 제공하며, 특히 복잡한 충격 구조를 해석하는 데 유리하다.
• 모든 시험 케이스에서 고통되는 셀의 비율이 매우 낮아 제한기의 계산 오버헤드가 낮음을 시사한다.
• 모든 시험 케이스에서 밀도와 압력의 양수성을 유지하여 물리적 일관성을 확보한다.
• 구조적 및 비구조적 메쉬 모두에서 강건하며, 1차원 및 2차원 시뮬레이션에서 일관된 성능을 보인다.