[논문 리뷰] A primer on A-infinity-algebras and their Hochschild homology

Stephan Mescher|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $A_{u}$-대수, 그들의 호크시ลด 호몰로지 및 코호몰로지, 그리고 컵 곱 구조에 대한 자가-contained이고 초등적인 소개를 제공하며, 정확한 부호 계산과 증명을 포함한다. 이는 호크시ลด 체인 복합체의 길이 필터링에 대해 스펙트럴 시퀀스를 수립하고, $A_{u}$-쌍모듈러스의 사상이 그 차수 0 성분이 관련된 호그레디언트 몫들 위에서 호몰로지 동형사를 유도할 경우 호크시ลด 호몰로지에서 동형사를 유도한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We present an elementary and self-contained construction of $A_\infty$-algebras, $A_\infty$-bimodules and their Hochschild homology and cohomology groups. In addition, we discuss the cup product in Hochschild cohomology and the spectral sequence of the length filtration of a Hochschild chain complex. $A_\infty$-structures arise naturally in the study of based loop spaces and the geometry of manifolds, in particular in Lagrangian Floer theory and Morse homology. In several geometric situations, Hochschild homology may be used to describe homology groups of free loop spaces. The objective of this article is not to introduce new material, but to give a unified and coherent discussion of algebraic results from several sources. It further includes detailed proofs of all presented results.

연구 동기 및 목표

• 기존 문헌에서 빈곤한 점을 메우기 위해 $A_{\infty}$-대수와 그들의 호크시ลด (코)호몰로지에 대해 통합적이고 자가-contained이며 초등적인 다루기를 제공하는 것.
• 일반적으로 생략되거나 일관되지 않은 경우가 많은 부호 계산을 완전하고 명시적으로 제공하는 것—특히 호크시ลด 체인 복합체의 미분에 대해.
• 호크시ลด 체인 복합체의 길이 필터링의 스펙트럴 시퀀스를 통해 $A_{\infty}$-쌍모듈러스의 사상이 호크시ลด 호몰로지에서 동형사를 유도하는 조건을 설정하는 것.
• 호크시ลด 코호몰로지에서 컵 곱의 구조를 명확히 하고, 그 체인 수준에서의 실현을 설명하는 것.
• 자기적 구조를 자유로운 루프 공간 호몰로지와 플로어 이론과 같은 기하학적 응용과 연결하는 데 있어 명시적인 대수적 도구를 제공하는 것.

제안 방법

• Maltese cross 표기법으로 제어되는 부호를 포함한 $A_{\infty}$-관계식 (1.1)을 만족하는, 차수 $2-n$인 계수 $R$-모듈로의 호모모르피즘 $\mu_n: A^{\bigotimes n} \to A$의 가족을 통해 $A_{\infty}$-대수를 정의한다.
• A에 대한 $A_{\infty}$-쌍모듈러스 $M$에 대해 호크시ลด 체인 복합체 $CH_*(A;M)$를 구성하며, 텐서곱에 작용하는 $\mu_n$의 정확한 부호를 포함한 합으로 정의된 미분 $\partial$를 포함한다.
• CH_*(A;M)에 대한 길이 필터링을 도입하며, $F_p CH_*(A;M)$는 길이 $\leq p$인 체인들로 구성되며, 이에 따른 스펙트럴 시퀀스를 분석한다.
• 직접 계산을 통해 $A_{\infty}$-관계식과 부호 관례를 사용하여 미분 $\partial$가 미분임을 증명한다 (즉, $\partial^2 = 0$).
• 호환 복합체 $CH^*(A;M)$를 통해 호크시ลด 코호몰로지를 정의하고, $M = A$일 때 호몰로지와의 쌍대성 관계를 확립한다.
• 코체인 복합체 위에서의 사상으로서 컵 곱을 정의하여, 그것이 결합법칙을 만족하고 계수에 따라 교환법칙을 만족함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일관된 부호 관례를 갖는 자가-contained이고 초등적인 방식으로 $A_{\infty}$-대수와 그들의 호크시ลด (코)호몰로지를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 특히, 호크시ลด 체인 복합체의 미분이 $\partial^2 = 0$을 만족함을 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ3 호크시ลด 체인 복합체의 길이 필터링의 스펙트럴 시퀀스는 어떻게 행동하는가? 첫 번째 페이지는 무엇인가?
• RQ4 어떤 조건에서 $A_{\infty}$-쌍모듈러스의 사상이 호크시ลด 호몰로지에서 동형사를 유도하는가?
• RQ5 호크시ลด 코호몰로지에서의 컵 곱은 체인 수준에서 어떻게 실현되며, 그 대수적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 호크시ลด 체인 복합체 $CH_*(A;M)$의 미분은 $\partial^2 = 0$을 만족하며, 부호 추적을 철저히 한 $A_{\infty}$-관계식의 직접적 검증을 통해 증명된다.
• CH_*(A;M)의 길이 필터링에 관련된 스펙트럴 시퀀스의 첫 번째 페이지는 $H_*(M) \otimes H_*(A)^{\bigotimes p}$와 동형이며, 미분은 $\mu_1$에 의해 유도된다.
• $A_{\infty}$-쌍모듈러스 $M$에서 $N$으로의 사상 $f: M \to N$은 그 유도된 사상 $f_{0,0}: M \to N$이 호몰로지 $H_*(M) \to H_*(N)$에서 동형사를 유도할 경우, 호크시ลด 호몰로지에서의 사상으로서 동형사를 유도한다.
• 호크시ลด 코호몰로지에서의 컵 곱은 코체인 복합체 위의 사상으로서 유도되며, 이는 잘 정의된 결합법칙과 계수에 따라 교환법칙을 만족하는 곱임을 보장한다.
• 사상 $f_*: CH_*(A;M) \to CH_*(A;N)$은 첫 번째 페이지의 스펙트럴 시퀀스에서 동형사를 유도한다. 이는 $f_{0,0} \otimes \mathrm{id}_{A^{\bigotimes p}}$가 호몰로지에서 동형사를 유도할 경우 성립하며, 이는 $M$과 $N$이 토퍼션 프리일 경우 쿠른렌스 정리에 의해 성립한다.
• 첫 번째 페이지의 유도된 사상은 $H_*(f_{0,0}) \otimes \mathrm{id}_{H_*(A)^{\bigotimes p}}$와 동형이며, 다섯 개의 보조정리(5-lemma)를 사용하여 총 사상 $f_*$가 호크시ลด 호몰로지에서 동형사를 유도한다는 결론을 이끌어낸다.