[논문 리뷰] A priori error estimates for compatible spectral discretization of the Stokes problem for all admissible boundary conditions

Jasper Kreeft, Marc Gerritsma|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 13.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 32인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 직교좌표계 및 곡선 요소 메esh에서 모든 허용 가능한 경계 조건에 대해 최적의 사전 오차 추정치를 보장하는 호환성 있는 스펙트럼 이산화 방법을 제시한다. 이 방법은 외부 미분과 가환하는 유계 투영 연산자를 기반으로 하여, 일관된 이산 허드지 분해를 가능하게 하며, 속도, 코리올리온, 압력 변수에 대해 최적 수렴률을 달성한다.

ABSTRACT

This paper describes the recently developed mixed mimetic spectral element method for the Stokes problem in the vorticity-velocity-pressure formulation. This compatible discretization method relies on the construction of a conforming discrete Hodge decomposition, that is based on a bounded projection operator that commutes with the exterior derivative. The projection operator is the composition of a reduction and a reconstruction step. The reconstruction in terms of mimetic spectral element basis-functions are tensor-based constructions and therefore hold for curvilinear quadrilateral and hexahedral meshes. For compatible discretization methods that contain a conforming discrete Hodge decomposition, we derive optimal a priori error estimates which are valid for all admissible boundary conditions on both Cartesian and curvilinear meshes. These theoretical results are confirmed by numerical experiments. These clearly show that the mimetic spectral elements outperform the commonly used H(div)-compatible Raviart-Thomas elements.

연구 동기 및 목표

• 모든 허용 가능한 경계 조건에서 최적 수렴성을 유지하는 호환성 있는 스펙트럼 이산화 방법을 개발한다.
• 외부 미분과 가환하는 유계 투영 연산자를 통해 일관된 이산 허드지 분해를 수립한다.
• 기존의 사전 오차 추정치를 표준 경계 조건을 넘어서 비표준 경계 조건까지 확장하여 곡선 사각형 및 육각형 메쉬에서 적용한다.
• 모성 스펙트럼 요소가 고전적인 Raviart-Thomas $H(\mathrm{div})$-호환 요소보다 수치 성능에서 뛰어나다는 것을 입증한다.
• 복잡한 곡선 도메인에서 제조된 해를 이용한 수치 실험을 통해 이론적 수렴률을 검증한다.

제안 방법

• 이 방법은 미분 형식과 스토크스 문제의 코리올리온-속도-압력(VVP) 공식화에 기반한 혼합 모성 스펙트럼 유한요소 방법(MMSEM)을 사용한다.
• 감소(하위 다양체 위의 적분)와 텐서곱 모성 스펙트럼 기저 함수를 이용한 재구성의 조합으로 구성된 유계 투영 연산자를 구축한다.
• 노드 및 모서리 보간 기저 함수를 사용하여 외부 미분과 허드지 분해에 대한 호환성을 확보한다.
• 투영 연산자가 외부 미분과 가환한다($\pi_h \mathrm{d} = \mathrm{d} \pi_h$)는 점에서 모성 일致성과 핵심 위상적 성질을 유지한다.
• 이산 허드지 분해는 일관된 것으로, $\Lambda_h^k = \mathcal{Z}_h^k \oplus \mathcal{Z}_h^{k,\perp}$이며 이는 이산 파oincaré 부등식에 의존한다.
• 이 방법은 미분기하학과 대수적 위상수학의 언어로 기술되어 있어 모든 표준 및 비표준 경계 조건과 호환된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 허용 가능한 경계 조건 하에서 호환성 있는 스펙트럼 이산화에 대해 최적의 사전 오차 추정치를 도출할 수 있는가?
• RQ2 모성 스펙트럼 요소 방법은 곡선 사각형 및 육각형 메쉬에서 최적 수렴률을 유지하는가?
• RQ3 MMSEM의 성능은 고전적인 $H(\mathrm{div})$-호환 Raviart-Thomas 요소와 비교해 수렴성과 정확성 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ4 가환성과 함께 유계 투영 연산자가 비표준 경계 조건에 대해 안정성과 최적 수렴률을 보장할 수 있는가?
• RQ5 매우 곡률이 높은 도메인에서 제조된 해에 적용했을 때 이 방법의 수렴 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 균일한 직교좌표계 메쉬에서 $N=2$ 및 $h=1/8$에서 $h=1/128$까지의 경우, 코리올리온 오차에 대해 $h^3$의 최적 수렴률을 확보하여 제3차 수렴을 확인한다.
• 곡선 메쉬에서 $N=2,4,6,8$일 때 속도 및 압력에 대해 최적의 $h$-수렴률을 달성하며, 코리올리온의 경우 약 3.0, 압력의 경우 약 3.01의 수렴률을 보인다.
• 수치 실험 결과, 모성 스펙트럼 요소가 표준 $H(\mathrm{div})$-호환 Raviart-Thomas 요소보다 정확도와 수렴 행동 측면에서 뛰어나다는 것이 확인된다.
• 비선형 변형이 가미된 $\Phi(\xi,\eta)$를 통해 매핑된 곡선 도메인에서 네 가지 유형의 경계 조건(디리클레, 뉴먼, 혼합, 비표준) 모두에서 최적 수렴률을 유지한다.
• 곡선 매핑의 역매핑 연산자가 투영 연산자와 가환하여 곡선 요소에서도 최적 수렴률을 유지한다.
• 이론적 오차 추정치는 모든 허용 가능한 경계 조건에 대해 유효하며, 이는 이전 연구에서 특정 경계 유형에 국한된 결과를 초월한다.